Двухточечная краевая периодическая задача для дифференциальных уравнений с максимумами

• Автор: Кирюшкин, Василий Владимирович
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2007
• Место защиты: Рязань
• Количество страниц: 111 с.

Глава I. Структура решений дифференциальных уравнений с максимумами

§ 1.1. Постановка задачи

§ 1.2. Свойства максимума

§ 1.3. Существование, единственность и непрерывная зависимость решения от начальных данных и параметра

§ 1.4. Структура решений

Глава II. Решение двухточечной краевой периодической задачи по

виду линейной части

§ 2.1. Необходимое условие существования ненулевого решения двухточечной краевой периодической задачи

§ 2.2. Исследование специального класса систем алгебраических уравнений

§ 2.3. Определение условий существования ненулевого решения двухточечной краевой периодической задачи методом линеаризации

главной части оператора

Глава III. Исследование проблемы разрешимости двухточечной краевой периодической задачи, полученные с использованием нелинейности
§ 3.1. Условия отсутствия и существования ненулевого решения двухточечной краевой периодической задачи
§ 3.2. Дифференцируемость по параметру максимума функции
Заключение
Литература
Актуальность темы. При исследовании динамических систем с отклонением большое значение уделяется различным колебательным процессам [9, 10, 12, 16], поскольку подобные процессы могут в одних случаях оказаться полезными и необходимыми, а в других случаях - вредными и нежелательными. Поэтому проблеме нахождения и определения параметров колебательных процессов придается особенно важное значение во всех прикладных науках. Центральным направлением теории колебаний является поиск периодических решений (решений двухточечных краевых периодических задач с известным промежутком периодичности). Таким решениям в практических задачах соответствуют различные циклические процессы, значение которых в многообразии сфер деятельности человечества трудно переоценить.
В последнее время особый интерес вызывают уравнения с отклонением, значение которого априори неизвестно. К таким типам уравнений относятся дифференциальные уравнения с максимумами, в которых отклонение аргумента зависит от искомой функции. Подобные уравнения все чаще возникают в теории автоматического регулирования, при решении экономических различных задач.
Основополагающий вклад в становление и развитие теории дифференциальных уравнений с максимумами внесли Н.В. Азбелев, Л.Ф. Рахма-туллина, П.М. Симонов, В.П. Максимов, М.Б. Ермолаев, А.Р. Магомедов, Ю.А. Рябов, В.Р. Петухов, С.А. Вавилов, Д.Д. Байнов, П. Гонсалес, М. Пинто.
На данный момент достаточно глубоко разработана теория устойчивости уравнений с максимумами, но слабо изученным остается вопрос, касающийся нахождения периодических решений (решений двухточечных краевых периодических задач) для таких уравнений. Используемые для ис-

следования данной проблемы методы имеют ограниченное применение и не позволяют решать широкий спектр задач. Настоящая диссертационная работа посвящена определению условий существования ненулевых решений двухточечной краевой периодической задачи для дифференциальных уравнений с максимумами.
В теории дифференциальных уравнений с отклонением исследуются проблемы существования решений в различных классах функций, в том числе в классах кусочно-непрерывных и абсолютно непрерывных функций. В работе вследствие того, что правая часть уравнения с максимумами непрерывна по совокупности переменных, и необходимости решения задач прикладного характера, исследуется проблема существования решения двухточечной периодической задачи уравнения с максимумами в классе непрерывно дифференцируемых функций.
Не изученным остается вопрос о существовании на заданном промежутке решений в классе непрерывно дифференцируемых функций, а, следовательно, не исследована проблема разрешимости двухточечной краевой периодической задачи для нелинейных уравнений с максимумами. В частности, не изучен вопрос о существовании решения двухточечной краевой периодической задачи при условии, что матрица монодромии системы линейного приближения уравнения с максимумами имеет собственное значение равное единице, а правая часть уравнения зависит от векторного параметра.
Наиболее эффективным методом решения двухточечной краевой периодической задачи является метод построения операторного уравнения, условия существования которого определяют условия разрешимости краевой задачи.
Для построения операторного уравнения необходимо существование решений уравнения с максимумами, продолжимых на заранее заданный

Рассмотрим систему уравнений ]А г-1 ,1
=СЬ
!р- г-2 ,2
V •Д22*...-4г =с2, (2.11)
л' ср,
где с/ > 0, &'• е{0,1,.../}, ^К=1’ г = 1>Р» У = 1,те, левые части уравнений сис-

темы представляют собой элементы вектора Л
Пусть О - степенная матрица системы (2.11).
Теорема 2.5. -Если существуют вектор е*:
= 1 и точка х такие,
что гапкС{е*) = п, гапЮ. = р и оператор Н^:х^у = Нх сохраняет знак в точке х*, то для любого 8>0 существуют а* е1У(8), а** 0 и Л* еА(8), такие что уравнение (1.3) имеет ненулевое решение двухточечной краевой периодической задачи при а = а* и Л = Л*.
Доказательство. Возьмем произвольное, но фиксированное 8 > 0. Так как гапкС(е*) = п, то, рассматривая уравнение (2.9) при е = е*, придем к уравнению (2.10).
Для определенности будем считать, что первые п столбцов матрицы С(е*) линейно-независимы. Тогда Л=(Л',Л”), Л'= (Л1,Л2 Л„),
^ = (Лг+Ь/^/г+2’"-’^'/?) •
Так как оператор Я] сохраняет знак в точке х* = (х?,х2 Хр_п), то,
согласно лемме 2.3, существует вектор х* = (х{,х2 х* п), 0<х* <1,
1’ = 1,р-п такой, что у* =(у(,у2 %) = НХТ и 0<57 <1, / = 1,л.
Число у* е (0,1) выберем таким образом, что 3у* < у* <1-2у*, * = 1,и.