Двухточечная краевая периодическая задача нелинейной системы дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом

• Автор: Свирилина, Татьяна Викторовна
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2006
• Место защиты: Рязань
• Количество страниц: 125 с.

Глава I. Структура решений системы дифференциальных уравнений

с отклонением

§1.1. Постановка задачи

§1.2. Непрерывная зависимость решений от начальных данных и параметра

§1.3. Исследование структуры решений

Глава II. Двухточечная краевая периодическая задача системы дифференциальных уравнений с отклонением

§2.1. Решение двухточечной краевой периодической задачи методом

разбиения пространства на прямую сумму подпространств

§2.2. Существование ненулевых решений операторного уравнения

(2.16)
Глава III. Решение двухточечной краевой периодической задачи методом линейного преобразования
§3.1. Исследование системы (1.3) в случае, когда решение двухточечной краевой периодической задачи зависит от линейной части
§3.2. Модель динамики валового внутреннего продукта
§3.3. Моделирование в химических процессах
Заключение
Список литературы

Актуальность темы. В данной работе изучается нелинейная система дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом, зависящая от параметра. Правая часть системы непрерывна по фазовым переменным. Предполагается, что система имеет тривиальное решение при любом значении параметра. Задачей исследования является определение условий существования ненулевых решений двухточечной краевой периодической задачи системы дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом в достаточно малой окрестности нулевого решения.
Впервые дифференциальные уравнения с отклоняющимся аргументом появились в литературе во второй половине XVIII в. (Кондорсе, 1771г.), но систематическое изучение уравнений с отклоняющимся аргументом началось лишь в XX в., особенно в конце 40-х годов, в связи с потребностями ряда прикладных наук. Дифференциальные уравнения с отклоняющимся аргументом находят много приложений в теории автоматического управления, в теории автоколебательных систем, при изучении проблем, связанных с горением в ракетном двигателе.
Уравнения с отклоняющимся аргументом описывают многие процессы с последействием, такие уравнения появляются, например, всякий раз, когда в рассматриваемой физической или технической задаче сила, действующая на материальную точку, зависит от скорости и положения этой точки не только в данный момент, но и в некоторый момент, предшествующий данному.
Системы с последействием и запаздывающими связями, динамические процессы в которых описываются дифференциальными, интегральными и интегро-дифференциальными уравнениями с отклоняющимся аргументом, встречаются даже в таких науках, как биология, медицина (про-

цессы размножения, распространения эпидемий и др.), экономическая статистика [78, 80-82, 84, 89].
При исследовании динамических систем с последействием и запаздывающими связями часто приходится встречаться с различными колебательными процессами [7, 9, 12]. Колебательные процессы в системах с запаздыванием, так же как и в обыкновенных динамических системах, могут быть в одних случаях полезными, необходимыми, в других же случаях -вредными, нежелательными. И в тех и в других случаях необходимо уметь устанавливать наличие или отсутствие колебаний, а если они есть - исследовать их характер и интенсивность. Поэтому исследованию колебательных процессов придается особенно важное значение во всех прикладных науках.
Среди дифференциальных уравнений с запаздывающим аргументом выделяют уравнения с сосредоточенным
*(0 = £ а1 ~ М (0)+ДО ,к>

и распределенным
3(1)
*(0 = |р(/,//)х(/-;/)ф + /(0, <7(0 > 0 о
запаздыванием.
Естественным обобщением уравнений с запаздывающим аргументом являются уравнения с вольтерровыми операторами или уравнения с последействием. Уравнения с последействием оказываются иногда очень близкими по своим свойствам к уравнениям дифференциальным. Это обстоятельство вызвало специальное направление в изучении уравнений с запаздывающим аргументом, посвященное поискам аналогий с обыкновенными дифференциальными уравнениями.
Процессы, происходящие в динамических системах с запаздыванием, в большинстве случаев описываются дифференциальными уравнениями с

Пусть 8 = тт{81,82}. Тогда для любого Я, Л <8, для любого р,
р є (0,р0) имеем
Следовательно, для любого Л, |Л|<£, для любого р, /?є(0,р0),
уравнение (2.3) не имеет решений, а система дифференциальных уравнений (2.1) не имеет ненулевых решений двухточечной краевой периодической задачи в достаточно малой окрестности нулевого решения.
Теорема доказана.
Пример 2.1.
Рассмотрим систему дифференциальных уравнений второго порядка с отклонением
Заметим, что функция й(?) допускает только конечное число выходов за пределы сегмента [0,1], при /г(?) = 0 и /г(?) > 1 имеем равенство
ух, (?) = ах | (?) + Л1Л2х1 (3?) + ЯІ2Х (0*2 00» [х2 (?) = ах 2 (?) + Л1Л3х2 (3?) + Л,х? (З?),
где ? є [0,1], а є (0,1).
Введем обозначения
/(*(?),*(Л(?))Д)
Тогда исследуемую систему можно записать в виде х(?) = Ах(і) + В(Л)х(Ь(ф + / (х(?), х(/г(?)), Л).
х(/г(?)) = ог.