Двухточечная краевая задача для квадратичных дифференциальных уравнений и включений второго порядка на многообразиях

• Автор: Зыков, Петр Сергеевич
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2006
• Место защиты: Курск
• Количество страниц: 98 с.

1 Предварительные сведения

1.1 Многозначные отображения

1.2 Элементы теории гладких многообразий

1.3 Геометрическая механика с линейными связями

1.4 Элементы общей теории относительности

2 Интегральные операторы с римановым параллельным переносом

2.1 Оператор

2.2 Годограф скорости

2.3 Интегральные операторы для систем со связями

3 Двухточечная краевая задача на римановых многообразиях

3.1 Постановка задачи и математический аппарат

3.2 Дифференциальные включения второго порядка с менее, чем квадратичным ростом по скоростям

3.2.1 Дифференциальные включения с правой частью, удовлетворяющей верхнему условию Каратеодори
3.2.2 Дифференциальные включения с правой частью, полунепрерывной снизу
3.3 Дифференциальные включения второго порядка с квадратичным ростом по скоростям
3.4 Дифференциальные включения второго
порядка со связями на многообразиях
3.4.1 Математический аппарат
3.4.2 Основные утверждения
4 Двухточечная краевая задача на лоренцевых многообразиях
4.1 Концепция системы отсчёта по А.Полтораку
4.2 Случай системы отсчета с плоской связностью
4.3 Случай системы отсчета с римановой связностью
Литература

Двухточечные краевые задачи для дифференциальных уравнений и включений второго порядка являются классической областью исследования в теории обыкновенных дифференциальных уравнений и до настоящего времени активно исследуются во всем мире (см., например недавние публикации о двухточечных задачах для дифференциальных включений [1] - [12]).
Отметим, что к дифференциальным уравнениям и включениям второго порядка сводятся законы движения механических систем (к включениям - в случае разрывных силовых полей или силовых полей с управлением), причем рассмотрение подобных уравнений и включений на многообразиях позволяет охватить механические системы на нелинейных конфигурационных пространствах. Указанные уравнения и включения на многообразиях также естественно возникают и в других разделах математической физики (например, в общей теории относительности), а также в геометрии многообразий.
По сравнению со случаем линейных пространств двухточечная краевая задача для уравнений и включений на римановых многообразиях существенно усложняется: даже в классических для линейных пространств случаях разрешимости на многообразиях двухточечная краевая задача может не иметь решений. Так, имеются примеры дифференциальных уравнений второго порядка на компактном многообразии с гладкой ограниченной правой частью (даже не зависящей от скорости), в которых для двух точек, сопряженных вдоль всех гео-

Лемма 2.3.5 В условиях и обозначениях Леммы 2.3.4 пусть чис-ло к > 0 и t > О таковы что б[1є > k. Тогда для любой кривой u(t) G Uk С C°([0,ti},ßmo) о окрестности t^V вектора в ßmo существует единственный вектор Си, непрерывно зависящий от и и такой, что S^(u + Cu){t) Є N.
Доказательство. Для u(t) Є Uk С C°([0,ti],TmoM) рассмотрим û(t) = tu(ti -t) Є Ue С ^([O, l],TmoM) и Cu = t^1 C„. Из 2.3.4 мы получаем этот вектор параллелен вдоль той же кривой вектору (û(t) 4- С^) = u(t) + Си. Таким образом 7(t) = S(u + Cu)(t) = S(û + Cû)(£ • для t Є [0,fi]. Следовательно S (и + Cu)(ti) = S(û + C«)(l) Є N
Замечание 2.3.1 Из полноты римановой метрики следует, что при t Є [ОДі] и > К все кривые S0(v(t) + Cv), где v(t) взято из шара радиуса К, будут лежать в некотором компакте, зависящем от є и С. Этот компакт будем в дальнейшем обозначать О,.