Движение двух вязких несмешивающихся жидкостей

• Автор: Денисова, Ирина Владимировна
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Докторская
• Год защиты: 2012
• Место защиты: Санкт-Петербург
• Количество страниц: 333 с.

ОГЛАВЛЕНИЕ

0.1. Введение

Часть I Движение двух несжимаемых жидкостей

§ 1. Введение

1.1. Постановка задачи. Определение пространств

§ 2. Модельная задача с плоской границей раздела жидкостей с учётом сил поверхностного натяжения

2.1. Вспомогательные предложения

2.2. Явное решение модельной однородной задачи и его оценка

2.3. Теоремы о мультипликаторах Фурье в пространствах Гёльдера . .

2.4. Оценка решения задачи (2.2.1)

2.5. Задача для неоднородной системы Стокса

§ 3. Модельная задача без учёта сил поверхностного натяжения
3.1. Постановка задачи и формулировка теоремы существования
3.2. Предварительные рассуждения
3.3. Однородная задача. Явное решение
3.4. Доказательство теоремы 3.3.
3.5. Доказательство теоремы 3.1.
§ 4. Линейная задача с учётом сил поверхностного натяжения
4.1. Вспомогательные утверждения. Формулировка результатов
4.2. Априорные оценки решения задачи (1.1.7)
4.3. Разрешимость задачи (1.1.7). Построение регуляризатора
§ 5. Локальная разрешимость нелинейной задачи в весовых пространствах Гёльдера
5.1. Весовые гёльдеровские пространства. Формулировка локальной
теоремы существования для нелинейной задачи
5.2. Весовые оценки для линейной задачи (1.1.7)
5.3. Разрешимость линеаризованной задачи на конечном интервале
времени
5.4. Доказательство разрешимости нелинейной задачи (5.1.1)
§ 6. Глобальная разрешимость для нелинейной задачи без учёта сил поверхностного натяжения
6.1. Формулировка основного результата

6.2. Линейная задача с замкнутой границей раздела жидкостей
6.3. Линеаризованная задача
6.4. Глобальная разрешимость задачи (1.1.1) при а = О
§ 7. Глобальная разрешимость задачи с учётом сил поверхностного натяжения
7.1. Постановка задачи. Формулировка основного результата
7.2. Энергетическая оценка решения
7.3. Линеаризованная задача
7.4. Глобальная разрешимость задачи (7.1.3), (0.1.3)
§ 8. Задача термо-капиллярной конвекции
8.1. Постановка задачи и формулировка результатов
8.2. Линеаризованные задачи
8.3. Разрешимость задачи (8.1.2)
8.4. Задача во всём пространстве с постоянным значением температуры на бесконечности
§ 9. Движение двух несжимаемых жидкостей в приближении Обербека-Вуссинеска
9.1. Постановка задачи и формулировка основных результатов
9.2. Линеаризованные задачи
9.3. Оценки решений задач (7.3.3), (6.2.4) и (9.1.4)
9.4. Локальная разрешимость задачи (9.1.2)
Часть II Движение двух сжимаемых жидкостей
§ 10. Локальная разрешимость задачи для двух жидкостей в Соболевских пространствах
10.1. Постановка задачи и формулировка основных результатов
10.2. Однородная модельная задача с плоской границей раздела жидкостей
10.3. Однозначная разрешимость неоднородной модельной задачи
§11. Задача для одной жидкости в гёльдеровских пространствах
11.1. Введение. Постановка задачи
11.2. Однородная задача (11.1.4) в полупространстве
11.3. Разрешимость неоднородной модельной задачи в полупространстве
11.4. Разрешимость линейной задачи в ограниченной области
11.5. Однозначная разрешимость задачи (11.1.2)

§12. Разрешимость в весовых гёльдеровских пространствах задачи об эволюции двух жидкостей
12.1. Формулировка основного результата
12.2. Оценки решения однородной модельной задачи с плоской границей раздела жидкостей в гёльдеровских пространствах
12.3. Теорема существования для неоднородной модельной задачи
12.4. Задача (12.1.1)
§13. Модельная задача для термо-капиллярной конвекции для двух жидкостей
13.1. Постановка задачи
13.2. Линеаризованные задачи
Часть III Движение двух жидкостей разных типов
§ 14. Введение
14.1. Постановка задачи
14.2. Формулировка результатов
§ 15. Модельная задача
15.1. Однородная модельная задача
15.2. Неоднородная модельная задача
§ 16. Задачи (14.1.4) и (14.2.2)
16.1. Линеаризованная задача (14.2.2)
16.2. Нелинейная задача (14.1.4)
Заключение
Список литературы

Пусть теперь Ь3 — 0, Ьх = Ь2 = 0. Тогда при х3 > О

= Б“

1£|Ь+
аБе~№з
г = 1,2,
сгБе~^Хз

Ц+Г+ + цгт
~(р+{~г+ + £?-) + р (т + |£|
д'л а В
Поэтому из следствия леммы 2.1.1 и из теоремы 2.3.3 следует, что

г = 1,2.
С?р0)&;) < сто

ІЄ|Ь+

< ас(Ва)£’§),

£<«*>£Г+,) <

Теперь мы можем вывести оценку решения задачи (2.2.1).
Теорема 2.4.2. Пусть Ь, Ъ2 Е С1+а,к^(Ж^), Т < оо, Ь3 £ С^,1+а^(М^), Б £ Са,?(Еу) с а,7 £ (0,1), 7 < а. Тогда задача (2.2.1) имеет решение (и,р) такое, чтои £ С2+“’1+?(Б|,), р £ (7^7,1+^(Б|.), Ур £ С“’?(.0|>), причём рост функции р при |ж| —» оо ограничен степенью х, меньшей единицы. Кроме того, имеет место неравенство
«с(Г){£((у
(7,1+а)
+ (^Ьз)1% + (6з>Ё1+“
(1+а,і±а) . , , (а)

(2.4.12)
(в)!?”}
= с(Т)М(Т), где с(Т) зависит от Т экспоненциально.
Доказательство. Продолжим Ьь Ъ2, Ь3, В нулём в область і < 0, а затем в область і >Тс сохранением класса (т. е. так, чтобы их нормы в оценивались через нормы в Е|., причём те же, что и в правой части (2.4.12)).