Асимптотическое поведение решений полулинейных параболических уравнений второго порядка

• Автор: Филимонова, Ирина Владимировна
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2004
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 82 с.

0.1 Введение

0.2 Основные определения, обозначения, накладываемые условия

1 Вспомогательные результаты

1.1 Принцип максимума и гладкость решений

1.2 Теоремы об асимптотическом поведении решений одного линейного уравнения

1.3 Вспомогательные теоремы из функционального анализа

1.4 Применение теорем из функционального анализа

2 Нелинейность: — а(х)и1Ти, а > 0

2.1 Стремление решений к нулю

2.2 Экспоненциальное убывание знакопеременных решений

2.3 Асимптотическая эквивалентность положительных решений

2.4 Асимптотическое разложение положительных решений
2.5 Оценка разности двух положительных решений
2.6 Экспоненциально отличающиеся решения
2.7 Полная асимптотика положительных решений
3 Положительные решения уравнения теплопроводности, удовлетворяющие нелинейному краевому условию
3.1 Асимптотическая эквивалентность положительных решений
3.2 Анатог теоремы об асимптотическом поведении решений линейных уравнений
3.3 Теорема о разности положительных решений
4 Положительные решения уравнения с нелинейностью
+ич sign и, 0 < q < 1
5 Задача Коши. Случай критического показателя
А Список литературы
0.1 Введение
Работа посвящена изучению асимптотического поведения решений некоторого класса параболических задач в цилиндрической области. Изучаются решения полулинейного параболического уравнения, удовлетворяющие условию Неймана на некомпактной части границы, и решения линейного параболического уравнения, удовлетворяющие нелинейному краевому условию. Основное внимание уделено асимптотике положительных решений.
Глава 1 носит вспомогательный характер.
В главе 2 в полубесконечном цилиндре (х, £) £ П х Е+ рассматриваются решения полулинейного параболического уравнения
Предполагается, что П — ограниченная область с липшицевой границей, коэффициенты ciij{x) удовлетворяют условию эллиптичности и симметричности, а;(х) — ограничены и измеримы, а(х) — неотрицательная ограниченная функция такая, что essinfna(x) ф 0.
Под решением и(х, t) уравнения (0.1), удовлетворяющим условию (0.2), понимается обобщенное решение и(х, t) принадлежащее W2' DL^flx [а,&]) при любых 0 < а < b удовлетворяющее уравнению (0.1) и условию (0.2) в смысле интегрального тождества. Точный вид интегрального тождества приведен на странице 31, определение пространства Wj 1 дано в § 0.2. Здесь отметим только, что из теории линейных параболических уравнений следует, такие решения непрерывны и гель-деровы в каждом конечном цилиндре Q х [а, Ь], а > 0 вплоть до его границы.
Исследованием асимптотического поведения решений уравнения (0.1), удовлетворяющих условию (0.2), занимались Р. Baras, L. Veron, В.Н. Арефьев, Ю.В. Егоров, В.А. Кондратьев, O.A. Олейник. Основные результаты содержатся в работах [17, 21, 18, 22] и других.
В работе [18] рассматривалось уравнение (0.1) с о,(х) = 0, и было доказано, что все его решения, удовлетворяющие условию (0.2), стреудовлетворяющие на DQ х R+ краевому условию Неймана:
(0.2)
мятся к нулю при £ —> оо равномерно в О и найден первый член асимптотики решения при £•-> оо. А именно доказано, что для любого решения существует равномерный по П предел при £ —>• оо:
t1/ В случае произвольных а,-(ж) доказательство стремления всех решений к нулю может быть проведено аналогично (§2.1).
В работе [21] установлено, что если а(х) = ао = const > 0, то любое решение уравнения (0.1), удовлетворяющее граничному условию (0.2), имеет вид
u(x,t) = C{t + r)~1/‘T + o(e~at) при £ —> оо,
где либо С = 0, либо |С| = (<7ао)_1/,<т, г = const зависит от и, а а = const > 0 от и не зависит. Более того С = 0, тогда и только тогда, когда решение обращается в ноль при сколь угодно больших £.
В главе 2 настоящей работы доказывается, что пространство решений уравнения (0.1), удовлетворяющих условию (0.2), в ’’целом” устроено также, как в случае а(х) = const > 0. В теореме 2 §2.2 доказывается экспоненциальное убывание при £ —> оо, осциллирующих, то есть обращающихся в ноль при сколь угодно больших £, решений уравнения (0.1), удовлетворяющих условию (0.2). Отметим, что такие решения существуют.
Асимптотическое поведение положительных решений характеризуется теоремой 4 §2.4, утверждающей, что для любого положительного решения u(x,t) уравнения (0.1), удовлетворяющего условию (0.2), можно при любом N подобрать непрерывные в Г2 функции |РкЛх) (к = 0,... ,1V; г = 0,... ,к), такие что
k=zN i~k
и{х, t) — ^2 t~°~k "22 ■ oo, (0.4)
4=0 t
причем тогда и только тогда, когда а(х) = const.
В теореме 5 §2.5, показано, что для любых двух положительных при £ —» оо решений и(х, £) и v(x, £) уравнения (0.1), удовлетворяющих условию (0.2), существует такая константа г, что
и(х, £) — v(x, £ + т) = o(e~at), при £ —> оо

П[о,т,] следует из теоремы Арцела. Следовательно для С}К, в П[о,т£] СУ_ ществует конечная е - сеть, доопределяя функции ее составляющие нулем при £ < 0, и при £ > 27^, сохраняя их непрерывность при £ > Те получим конечную е - сеть для множества С}К в метрике В.
Применяя к отображению теорему Шаудера найдем неподвижную точку / £ К. оператора <3- Следовательно / + ыо + — решение
уравнения (45), удовлетворяющее условию (32), отличное от щ. □
2.7 Полная асимптотика положительных решений.
Пусть и(х, £) и г1о(х, £) положительные решения уравнения
с одинаковой степенной асимптотикой, т.е. им соответствует один и тот же ряд
где функция 9оо = const = (1/(ста))1/<г.
Цель этого раздела охарактеризовать все возможные асимптотические поведения разности и(х, £) — щ(х, £). Ранее было показано, что разность u(x,t) — uo(x,t) экспоненциально убывает, причем функция v(x, £) = (и(х, £) — щ(х, £)) ехр(—АЦ) имеет сколь угодно малый экспоненциальный рост, где Ai — первое ненулевое собственное значение задачи
Отметим, что так как задача (52) самосопряженная и фредголь-мова, то ни одно собственное значение А не может иметь присоединенных собственных функций.
(50)
в По = х R+, удовлетворяющие на х 1R+ условию
(51)

i=k
•к5Zрк(®)1п'*,
к=0 >'
(52)
х £ сЮ.