Усреднение краевых задач в областях, содержащих внутреннюю перфорированную границу или тонкие каналы малой длины

• Автор: Яблоков, Виктор Владимирович
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2004
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 99 с.

0.1 Введение
0.2 Вспомогательные утверждения
1 Оператор Лапласа в областях с внутренней перфорированной границей
1.1 Постановка задачи
1.2 Случай распада на две области
1.3 Случай исчезновения внутренней границы в пределе
1.4 “Критический” случай
2 Эллиптические задачи в областях с “тонкими” каналами малой длины
2.1 Определение областей с “тонкими” каналами
2.2 Общее эллиптическое уравнение второго порядка
2.3 Случай наклонных каналов
2.4 Система Ламэ стационарной линейной теории упругости
2.5 Пример доказательства слабой сходимости
Иллюстрации
Литература

Параграф 0
0.1 Введение
Различные процессы, протекающие в средах с инородными включениями, описываются решениями эллиптических краевых задач с теми или иными граничными условиями, задаваемыми на поверхности включений. При большом числе включений области, в которых ставятся такие краевые задачи, имеют чрезвычайно сложную структуру. Сложная структура области не вносит дополнительных трудностей в доказательство теорем существования и единственности решений краевых задач, однако при нахождении этих решений как точными, так и приближенными методами возникают непреодолимые трудности. Лишь привлекая различные физические соображения, иногда удается приближенно найти основные характеристики изучаемого процесса при помощи замены решений исходных задач решениями более простых задач. В одних случаях решения исходных дифференциальных уравнений с граничными условиями на сложной границе заменяются решениями измененных дифференциальных уравнений, рассматриваемых во всем пространстве. В других — сложная граница в исходной задаче заменяется сравнительно простой поверхностью, на которой задаются так называемые “усредненные” граничные условия.
Подобными задачами занимается бурно развивающаяся в последнее время теория усреднения, имеющая яркую историю, восходящую к работам Пуассона, Максвелла, Рэлея. Как самостоятельная наука теория усреднения была развита в работах таких математиков как Н. С. Бахвалов, В. В. Жиков, В. А. Марченко, Е. Я. Хруслов, Е. Де Джорджи, Ж. Лионе, Ф. Мюра, Э: Санчес-Паленсия, С. Спаньоло, Л. Тартар и многие другие [1, 5, 7, 15, 26, 42, 43, 44, 45, 52]. Особую роль в развитии теории усреднения занимают работы О. А. Олейник и ее учеников [23, 24, 25, 46, 47, 48, 49].
Примерами задач, решаемых теорией усреднения могут служить краевые задачи для уравнений с частными производными, моделирующие процессы в сильно неоднородных средах, перфорированных материалах, задачи с малым параметром при старшей производной, с быстро осциллирующими коэффициентами, задачи со сменой граничного условия на малом участке границы, задачи с частой сменой граничных условий, задачи в областях с быстро осциллирующей границей, с концентрированными массами, в перфорированных областях и многие другие (см., например, работы [1, 5, 13, 15, 23, 26], [42]-[52]).

Параграф 0
В 60-ых — 70-ых годах прошлого столетия в работах В. А. Марченко и Е. Я. Хруслова [14, 15, 16] впервые были рассмотрены задачи усреднения в областях с так называемой мелкозернистой границей. Краевое условие в такого рода задачах ставится на границе множества сложной структуры, состоящего, например, из большого количества (как правило, непересекающихся) малых областей, расположенных близко друг к другу. При этом изучается поведение решения, когда число областей неограниченно возрастает, а расстояние между ними и их размеры стремятся к нулю. Задачи в подобного рода областях возникают при исследовании, например, распределения потенциала электрического поля в электронных приборах с густыми управляющими и экранными сетками [20]; дифракции волн различной природы на экранах с большим числом мелких дырок, на решетках с малым периодом, на облаке мелких частиц (антенны, кольцевые и спиральные волноводы, “искусственные диэлектрики”) [10]; деформации упругих сред с большим числом мелких неоднородностей (пустот, трещин и.т.п) [28].
При изучении задач с мелкозернистой границей В. А. Марченко и Е. Я. Хруслов использовали достаточно трудоемкую технику вариационных методов и теории потенциала, а также понятие проводимости. При этом в рассматриваемых ими задачах обычно доказывалась лишь слабая сходимость, в то время как такой важный и актуальный вопрос как нахождение оценки сходимости решений исходных задач к решениям усредненных не затрагивался. Позднее, методы, разработанные в теории усреднения дифференциальных уравнений с частными производными, позволили получить дальнейшее продвижение в задачах, рассмотренных В. А. Марченко и Е. Я. Хрусловым, для областей со сложной границей, обладающей периодической структурой. ([24, 27, 29, 30, 33, 34, 35, 36, 46, 47] и др.)
В диссертации рассматривается задача усреднения эллиптических уравнений и систем в областях с сильно изрезанной границей, содержащих либо внутреннюю перфорированную границу (области типа “сито”), либо тонкие цилиндрические каналы малой длины, расположенные в-периодически вдоль гиперплоскости. При этом на перфорированной части границы ставится краевое условие Неймана. При исследовании асимптотики решений автор применяет методы теории усреднения дифференциальных операторов, общей теории уравнений в частных производных, а также методы функционального анализа и теории пространств Соболева.

Параграф 1
“КРИТИЧЕСКИЙ” СЛУЧАЙ
Ввиду определения (1.64) константы А£, имеем / = 0, то есть
задача (1.63) разрешима. Далее нам понадобится оценка для | ^([г?]) | :
|Л(Муч)| = М£ J{ь]ф+ах + J[ь](р+^(кх = | J(у&, У ([«#+)) ах

<1|у(НЫ11«в.)11у?,1и(в.). 0-66)
Для получения оценки ДЛЯ || V £,Ль2(Яе) возьмем в интегральном тождестве (1.65) в качестве пробной функции функцию <р = ££, применим к | / £е <4ж| неравенство Коши—Буняковского и лемму 12, а к |
Те1 °°
леммы 3 и 4:
II V£е1112(<э£) — 1аг^£ J££(1х + У £е^-сй| < а£Ае/|7£|||^£||£2(71)+

+КыаЦЧфтьт + Кта^ + <*«11 V&!&«.))* <
(п-Ч
< а£Аел/£"|| у^е||д2(д6)+Д'хо1а! || У&Ндддд+Кшае 2 у/а 1е2 "||у€е||д2(<э,)+
-ЬД'юзае"2 у/а^\ У 6-||ь2(д£) < Кш(ае/е^ + /а?)|| V ^е||ха(де)-Таким образом, доказано неравенство
II V < Кюз(аеу/б" + у/Щ)-
Подставляя полученную оценку в (1.66), для произвольного 6 > 0 получаем:
|аеА£ J[у<р+ йх + J[у<р+-^-(1х = |Д£([и]<^+)| <
7й <7?
< ^104||у(Н^+)1и2(ОЕ)(а£/е"+>/«?') < -^Ю4(5||у(М^+)11|2(д£)+^(а£е"+ае))-
Полоса П£ = {х : 0 < х < е, х € 7} разбивается на е1~п кубов вида <5£, для каждого из которых справедливы оценки, полученные выше. Суммируя по всем множествам вида 7* и а® получаем:
[у]<£+(1х + у [ь]<р+о^-(1хI < Кю5<5|| у (МЫШдП,

7£+еа;1