Граничное управление колебаниями сферического слоя за большие и малые времена

• Автор: Сергеев, Сергей Андреевич
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2010
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 72 с. : ил.

Оглавление
1 Введение
2 Построение вспомогательных соотношений
2.1 Определения и краткая формулировка задач
2.2 Построение вспомогательных функций
3 Задача об управлении двумя смещениями
3.1 Формулировка задачи
3.2 Построение вспомогательных соотношений
3.3 Минимизация. Нахождение оптимального управления
3.3.1 Случай Д € [0, /]
3.3.2 Случай Д € [/, 21]
3.3.3 Определение функций оптимального управления
4 Задача управления третьим условием
4.1 Формулировка задачи
4.2 Построение вспомогательных функций
4.3 Минимизация. Нахождение оптимального управления
4.3.1 Случай Д е [0, /]
4.3.2 Случай Д € [/, 21]
5 Управление при малых временах
5.1 Управление колебаниями двумя смещениями
5.1.1 Постановка задачи
5.1.2 Случай 1/2 < Т < I
5.1.3 Случай 0 < Т < 1/2
5.2 Управление двумя силами
5.3 Достаточные условия существования граничного управления
6 Пример необходимости интегральных условий
Литература

Глава 1 Введение
Глава 1. ВВЕДЕНИЕ

Многие современные технические устройства и системы работают в экстремальных условиях, поэтому в них могут возникать нежелательные и даже опасные колебания, которые надо погасить. К такому роду систем относятся высокоскоростные самолеты и другие летательные аппараты, мощные энергетические системы и т.п. С другой стороны, существуют объекты, в которых, наоборот, необходимо генерировать колебания заданных частот. Таким образом возникает два сорта задач. Первый — такой, где надо погасить колебания. Второй сорт задач связан с необходимостью возбуждения определенных колебаний. При этом часто возникает оптимизационная задача: успокоить или возбудить систему при условии минимизации затрат тех или иных ресурсов.
В чисто математическом плане такие задачи оптимизации формулируются в терминах теории краевых задач для уравнений гиперболического типа. Критерием оптимальности может быть, в общем случае, произвольный функционал, но, как правило, выбирается квадратичный, характеризующий энергию объекта, или связанный в той или иной форме с нормой функции.
Одним из первых, кто сформулировал задачи для гиперболических уравнений в терминах граничного управления, был Ж.-Л. Лионе, см. [2] и [3]. Он изучал задачу гашения колебаний для волнового уравнения в п-мерной области П к моменту времени Т в зависимости от граничной функции ц(£). Была показана неединственность существования таких граничных функций при моменте времени 1’, большем, чем 2<Иат(П).
Лионсом был разработан метод, который позволяет изучать вопросы существования и единственности граничного управления для волнового уравнения не только в одномерном случае, но и в многомерном. В дальнейшем его ученики обобщили этот метод на другие виды гиперболических уравнений, например на квазиволновое, однородное транспортное уравнение, а также на автономные системы гиперболических уравнений.
Однако, для выяснения единственности управления в рассматриваемых нами задачах, мы будем опираться на результаты В.А. Ильина, опубликованные в [8], где доказывается единственность решения смешаной задачи для гиперболического уравнения в довольно широком классе областей при несильных требованиях на функции начальных состояний. В такой постановке единственность граничного управления является следствием результатов В.А. Ильина, полученных в указанной выше работе.
Вопросы, посвященные задачам управления, также исследовали Ф.П. Васильев и его ученики (см. (6)). В этой работе Ф.П. Васильев рассматривал вопросы двойственности в задачах управления и наблюдения. Вместе со своими учениками он подошел к конструктивному методу построения граничного управления, сначала при помощи вычислительных методов, а затем и при помощи методов рядов Фурье.
Большой цикл работ по данной теме выполнен В. А. Ильиным и его учениками. Они исследовали задачи существования граничного управления для волнового уравнения. В работе [9] Ильиным впервые был введен класс функций И(Фт), в терминах которого и решались задачи управления и оптимизации. Здесь область представляет собой прямоугольник {[0 < х < I] х [0 < £ < Т]}, I — длина струны, а Т — финальный момент времени, опередляющий интервал, за который осуществляется управление.
Глава 3. ЗАДАЧА ОБ УПРАВЛЕНИИ ДВУМЯ СМЕЩЕНИЯМИ

из которого находится константа С:

2 2 (тп + 1)

а2т — 62(т + 1) а2т + Ь2(т + 1)
х 2(Д — I) + (21 — Д)
т(2т + 1)(а2 + 62)2
[а2т + Ь2(т + 1)] [а2(т + 1) + Ь2т]
3.3.3 Определение функций оптимального управления
Зная производные функций оптимального управления, мы можем восстановить по ним исходные функции, пользуясь тем, что на границе должны быть выполнены условия согласования следов (2.10) и (2.11). Алгоритм нахождения оптимальных управлений полностью повторяет аналогичные рассуждения из [17].
Обозначим функции, стоящие в правой части формул (3.17), (3.18), (3.28) и (3.29), через ИЩ), Гг (*), Гз() и РЩ) соответственно.
В случае, когда Д € [0, I], получаем
р(<) = Гі (і) + аЩ), і/(і) = Ь2(і) + а2{і)
(3.31)

Если же Д € [І, 2/], то
ц(і) = Ь3(і) + &з (і), и{і) = Ьл + аЩ)
(3.32)