Асимптотика решений некоторых сингулярно возмущенных краевых задач для линейных гиперболических уравнений и систем с неполными вырождениями

• Автор: Кадыкенов, Болат Мугдиевич
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 1984
• Место защиты: Алма-Ата
• Количество страниц: 117 c. : ил

ГЛАВА I. СИНГУЛЯРНО ВОЗМУЩЕННАЯ ПЕРВАЯ КРАЕВАЯ ЗАДАЧА ДНЯ

СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ ГИПЕРБОЛИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ

§ I. Постановка задачи. Основные предположения и

результаты

§ 2. Построение асимптотики решения основной задачи (І.І), (1.2)

§ 3. Оценки остаточных членов

ГЛАВА 2. СИНГУЛЯРНО ВОЗМУЩЕННАЯ ЗАДАЧА КОШИ С НАЧАЛЬНЫМ СКАЧКОМ ДЛЯ МНОГОМЕРНЫХ ГИПЕРБОЛИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ ВТОРОГО ПОРЯДКА

§ I. Постановка задачи

§ 2. Определение начального скачка

§ 3. Построение асимптотического разложения решения

основной задачи (2.1), (2.2)

§ 4. Оценки пограничных функций
§ 5. Доказательство справедливости асимптотического
разложения
ГЛАВА 3. СИНГУЛЯРНО ВОЗМУЩЕННЫЕ СМЕШАННЫЕ ЗАДАЧИ С НАЧАЛЬНЫМИ СКАЧКАМИ ДЛЯ ГИПЕРБОЛИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ ВТОРОГО ПОРЯДКА, ШР01ДАКВДХСЯ В ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА
§ I. Первая задача
§ 2. Вторая задача
ЛИТЕРАТУРА

Многие прикладные задачи физики, механики, техники, химии и биологии описываются с помощью дифференциальных уравнений, содержащих малые или большие параметры, называемых возмущенными уравнениями. В зависимости от характера возмущения такие задачи подразделяются на регулярно возмущенные и сингулярно возмущенные задачи. Математические основы регулярной теории возмущений подытожены в монографиях К.0.Фридрихеа /70/ и Т.Като /46/. По сравнению с регулярно возмущенными задачами исследование сингулярно возмущенных задач представляет большую трудность. В таких задачах вырожденная задача принадлежит другому типу, чем исходная задача, и возникают трудности в качественном исследовании поведения решения невырожденной задачи. Фундаментальные работы
А.Н.Тихонова /61,62,63/, посвященные теории обыкновенных нелинейных дифференциальных уравнений с малыми параметрами при старших производных, дали мощный импульс интенсивному развитию теории сингулярных возмущений.
Одной из трудных проблем в теории сингулярно возмущенных задач для дифференциальных уравнений является построение асимптотических разложений по малому параметру решений для рассматриваемых задач. Решения сингулярно возмущенных задач для дифференциальных уравнений с малым параметром при старших производных зависят от параметра как регулярным, так и сингулярным образом. Сущность асимптотического метода малого параметра состоит в том, чтобы, отделив эти зависимости одну от другой, построить равномерно пригодные асимптотические приближения. Среди асимптотических методов созданных применительно к сингулярно возмущенным за-

дачам с погранслойным характером решений, следует отметить весьма эффективный метод погранслойных функций, развитый М.И. Вишиком и Л.А.Люстерником /17/ для сингулярно возмущенных линейных дифференциальных уравнений, А.Б.Васильевой /II-14/ для сингулярно возмущенных нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений, М.И.Иманалиевым /25,26/ для сингулярно возмущенных интегро-дифференциальных систем. Этот метод в настоящее время получил название "метод пограничных функций". Дальнейшее развитие метода пограничных функций получило в работах В.А.Треноги-на /64,65,66/, В.А.Тупчиева /67,68/, В.Ф.Бутузова /2,3/.
С.А. Ломов /48-52/ разработал метод регуляризации сингулярно возмущенных задач с помощью перехода в пространство большой размерности, индуцированной исходной задачей, и замены исходного сингулярно возмущенного оператора на регулярный оператор. Метод С.А.Ломова применил к широкому спектру задач для обыкновенных дифференциальных уравнений и уравнений с частными производными.
В.Ф.Бутузов /4-8/ разработал метод угловых пограничных функций, который является дальнейшим существенным обобщением и развитием метода пограничных функций. Метод В.Ф.Бутузова применим к сингулярно возмущенным краевым задачам с двумя и более соприкасающимися вязкими краевыми границами для уравнений с частными производными.
Л.С.Понтрягин, Е.Ф.Мищенко и Н.Х.Розов /53-56,59,60/ разработали метод расчета релаксационных колебаний, описываемых сингулярно возмущенными нелинейными системами обыкновенных дифференциальных уравнений.
Среди других асимптотических методов, разработанных каждый

'/ /о
Hi,x,£) = Z £ P(ior/)
Ы ' * 1 1 ,J '
гг= Л ^ = ~
<5 J
и для остаточных членов , Pi справедливы равномерные в J2 оценки
üQ(Z>sjIIc(J2)
Il Р (é^SJl GCMj — Die2)