Глобальные бифуркации трехмерных диффеоморфизмов с негрубыми гомоклиническими и гетероклиническими траекториями

• Автор: Овсянников, Иван Ильич
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2011
• Место защиты: Нижний Новгород
• Количество страниц: 141 с. : ил.

ОГЛАВЛЕНИЕ
Page
Введение
ГЛАВА 1. О бифуркациях диффеоморфизмов с гомоклиническими касаниями к нейтральному седлу

1.1. Постановка задачи и формулировка основных результатов

1.2. Построение отображения первого возвращения

1.3. Изучение бифуркаций точек периода два в обобщенном отображении Эно

1.4. Бифуркации однообходных периодических орбит и доказательство теоремы

ГЛАВА 2. О бифуркациях диффеоморфизмов с гомоклиническими касаниями к нейтральному седло-фокусу

2.1. Постановка задачи

2.2. Отображения локальное, глобальное и первого возвращения
2.3. Рескейлинг-лемма и нормальная форма отображения первого возвращения
2.4. Описание основных бифуркаций и области устойчивости семейства
2.5. Доказательство рескейлинг-леммы
ГЛАВА 3. Бифуркации трехмерных диффеоморфизмов с гетероклини-ческими касаниями, приводящие к возникновению диких аттракторов Лоренцевского типа
3.1. Постановка задачи и формулировка основных результатов

3.2. Доказательство теоремы
3.3. Доказательство леммы
ГЛАВА 4. Изучение основных бифуркаций в трехмерном отображении Эно
4.1. Бифуркации коразмерности один
4.1.1. Седло-узловая бифуркация
4.1.2. Бифуркация удвоения периода
4.1.3. Бифуркация рождения замкнутой инвариантной кривой
4.2. Бифуркации коразмерности два
4.2.1. Резонанс 1:1
4.2.2. Резонанс 1:2
4.2.3. Бифуркация (+1,—1)
4.2.4. Резонанс 1:3
4.2.5. Резонанс 1:4
4.3. Существование диких аттракторов Лоренцевского типа в трехмерных отображениях Эно
4.3.1. Формулировка основных результатов
4.3.2. О рождении аттрактора Лоренцевского типа в окрестности
неподвижной точки трехмерного отображения Эно (доказательство леммы 8)
Литература

ВВЕДЕНИЕ
Основной темой диссертации является исследование нелокальных бифуркаций, связанных с существованием нетрансверсальных пересечений устойчивых и неустойчивых многообразий седловых периодических траекторий. Траектория, лежащая в пересечении инвариантных многообразий одной и той же седловой периодической орбиты называется гомоклиниче-ской, а в случае различных седел — гетероклинической. Часто используется также термин ’’гомоклиническая траектория Пуанкаре”, чтобы подчеркнуть отличие от двоякоасимптотических траекторий другого типа — петель сепаратрис седловых состояний равновесий (которые тоже иногда называют гомоклиническими траекториями). В случае, когда инвариантные многообразия пересекаются нетрансверсально, говорят также о существовании гомоклинического или, соответственно, гетероклинического касания.
Настоящая работа относится к одному из основных разделов качественной теории динамических систем — теории нелокальных бифуркаций многомерных динамических систем.
Основы качественной теории динамических систем были заложены в конце 19-ого и начала 20-ого века в классических работах А. Пуанкаре, А.М. Ляпунова, И. Бендиксона, Дж. Биркгофа. Теория бифуркаций как самостоятельная математическая дисциплина оформилась в работах A.A. Андронова, H.H. Баутина, Е.А. Леонтович, А.Г. Майера, Л.С. Понтрягина. Прежде всего это касалось динамических систем на плоскости. Для них, в частности, было введено понятие грубой системы (Андронов, Понтрягин) и указаны отличительные признаки грубых векторных полей на плоскости (Андронов, Леонтович); для систем с конечным множеством особых траекторий был построен полный топологический инвариант (Леонтович, Май-

г2 (м)> У = 0 следующим образом:
XI ~ х = (хьх2,у- У~,ц),
х2 - Х% = Р2(Х1,Х2,У - УТ/Д, С1-4)
у = С(хих2,у- у", у), где (0,0,0,0) = Г2(0,0,0,0) = (7(0,0,0,0) = 0, и, согласно условию С1, выполняются следующие соотношения:
90(0,0,0,0) <(0.0.0,0)
Эу ’ ду2
Действительно, они вытекают из требования, чтобы кривая ТДИД, задаваемая уравнениями {од — х* — (0,0,у — у~, 0), х2 — х% = 72(0,0, у — у~, 0), у = <7(0,0,у — у~,0)}, при у — 0 имела квадратичное касание с
те-мерной плоскостью у = 0 в точке яд — х2 = х% Тогда мы можем
записать следующее представление для функций Т, Тг и С:
XI - = аих!+ < аю, х2 > +Ъх{у - у~) + е02(у - у~)2+
+0(||х||2) + 0{\х\у - у~|) + 0(у - у~|3)
х2 - х = 021! + 022.Х2 + Ь2(у - у ) +
+0(||.Х'Ц2) + 0(\х\у - у-) + 0(у - у-12)
(1.6)
у = у+ + сцэц-Ь < с2,х2 > +с1(у - у )2 + /пжДу - у ) +
+/оз(у - У-)3 + 0(1И|2) + 0(||.т|||у - у-|) + 0(|у - у-14).
Здесь 012, а2ъ &2, с2 — (тг—1)-мерные вектора, о,22 — (п.— 1) х (тг — 1)-матрица; <,>— скалярное произведение.
Хорошо известно (см. [64, 54]), что на п-мерном многообразии Иос{0) существует единственное Сг-гладкое сильно устойчивое инвариантное слоение К“. Каждый слой слоения является (п— 1)-мерным многообразием, трансверсалыгым хц-направлению. Также, по определению из [64, 54],