Математические вопросы динамики двухкомпонентной теплопроводящей вязкой несжимаемой сплошной среды

• Автор: Аруп Бхаттачарджи
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2001
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 110 с.

Оглавление
Введение
1 Постановка задачи
1.1 Математическая модель динамики двухкомпонентной теплопроводящей вязкой несжимаемой сплошной среды
1.2 Обобщенная постановка задачи и проверка корректности обобщенного решения
2 Существование глобального обобщенного решения
2.1 Галеркинские приближения со свободной поверхностью
2.2 Оценки галеркинских приближений
2.3 Сходимость Галеркинских приближений
Литература
Приложение
А Список обозначений
В Алфавитный указатель

Введение
Диссертационная работа посвящена решению задачи динамики двухкомпонентной теплопроводящей вязкой несжимаемой сплошной среды в случае двух пространственных переменных, когда вязкость и температуропроводность сплошной среды зависят от ее температуры. Динамика сплошной среды описывается нелинейной системой уравнений Навье-Стокса с учетом теплопроводности и теплопереноса.
p[vt + {v, V)v] = f(x, t) + DivT,
Qt + (v, V)0 = div(xV0) +g(x,t), (1)
divf = 0, (x,t) G Qt = ^ x (0, T), fi с R2, T > 0.
Система (1) описывает движение теплопроводящей вязкой несжимаемой сплошной среды. Здесь и в дальнейшем t означает время, х = {х,х2) — пространственные переменные, V = v(x,t) = (V,V2) — поле скоростей сплошной среды в точке х G Г2 в момент времени t G (0,Т), р — постоянная плотность среды, Т — тензор напряжений для жидкости Навье-Стокса, т.е. Tij = [iS;j — SijP, где §ij — символ Кронекера, Р — гидродинамическое давление сплошной среды, Sij = — компоненты тензора скоростей
деформации, д = flip) — зависящей от температуры коэффициент вязкости, вектор-функция / = /(ж, t) = (/1, /2) — заданная объемная плотность внешних сил, д — я9(жД) — измеримая термометром классическая молекулярная

температура сплошной среды, к — х(х>) — зависящий от температуры коэффициент температуропроводности сплошной среды, д(х,£)— заданная плотность источников тепла. Как отметил СЬопп А.Л. в своей монографии [46], в случае несжимаемой жидкости изменение классической молекулярной температуры жидкости влияет на движение жидкости главным образом засчет коэффициента вязкости (см. [46], стр.8). В рассматриваемом нами случае линейной связи тензоров напряжения и скоростей деформации можно пренебречь квадратичным вкладом тензора скоростей деформации в уравнение теплопроводности. Разделив, как обычно, уравнение (1) на коэффициент р и сохранив прежнее обозначение, будем считать р коэффициентом кинематической вязкости, а /(£,£) — массовой плотностью внешних сил.
Двухкомпонентная сплошная среда занимает область £4 С М2, которая для простоты предполагается ограниченной. Область £4 разделена на две части £4х — £4х(£) и £42 — £Ь(£) с неизвестной поверхностью раздела, которую обозначим через Г = Г(£).
Области £4х, £4г и неизвестная поверхность раздела Г зависят от времени. Внешняя граница сЮ от времени не зависит. Неизвестная поверхность раздела сред Г(£) ищется методом Эйлерова типа [47] путем искусственного введения так называемой функции псевдоплотности Ф(х, £). При этом поверхность Г(£) задается неявно уравнением Ф(ж,£) = 0, а функция псевдоплотности Ф удовлетворяет уравнению переноса
Ф( + (ъ>, УФ) = 0 . (2)
С точки зрения физического смысла, система (1) описывает плоскопарал-

ваемся от такого условия ради простоты, требуя выполнения на T(t) более простого условия сопряжения (1.7).
Для поля скоростей и температуры задаются начальные условия (1.9), (1.10). Начальная форма Г(0) неизвестной поверхности раздела сред задается неявно уравнением Фо(^) = 0, что соответствует начальному условию (1.11). Предполагается, что Г(0) Є С1, точнее, Фо(ж) Є СДО) и |УФо(ж)| ф 0 в замыкании fl. Как уже отмечалось, метод введения функции псевдоплотности требует, чтобы в начальный момент выполнялись условия
Фо(х) >0, х Є fii(0),
Фо(ж)=0, х Є Г(0),
Ф0(х) < 0, г Є П2(0).
Задача для неоднородной жидкости с переменной плотностью р = p(x,t) и с постоянной вязкостью рассматривалась в монографии Антонцева C.H., Кажихова A.B., Монахова В.Н. [1]. Для такого неоднородного случая в системе Навье-Стокса добавляется еще одно уравнение, а именно, уравнение переноса для плотности неоднородной жидкости, которое следует из уравнения неразрывности несжимаемости
^ + div(pv) =
при условии соленоидальности поля скоростей, т.е. divi? = 0. Таким образом