Вырождающиеся эллиптические уравнения и связанные с ними весовые пространства

• Автор: Вихрева, Ольга Анатольевна
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2009
• Место защиты: Якутск
• Количество страниц: 65 с. : ил.

Содержание
ВВЕДЕНИЕ

1. Некоторые весовые пространства С.Л. Соболева

§1.1 Теоремы вложения для одного класса весовых пространств

§1.2 О весовом пространстве Соболева в кубе

§1.3 Ов одном приложении весового пространства Соболева

2. Первая краевая задача для вырождающихся эллиптических уравнений второго порядка

§2.1 Теорема вложения и обобщенная разрешимость первой краевой задачи для вырождающегося эллиптического уравнения
§2.2 Об обобщенной разрешимости первой краевой задачи для другого вырождающегося эллиптического уравнения

3. Краевые задачи для вырождающихся эллиптических уравнений второго порядка

§3.1 Третья краевая задача для вырождающегося эллиптического

уравнения
§3.2 Обобщенная и фредгольмова разрешимость смешанной краевой задачи для вырождающегося эллиптического уравнения
§3.3 Задача Дирихле для нелинейного вырождающегося эллиптического уравнения
ЛИТЕРАТУРА

ВВЕДЕНИЕ
Основным объектом изучения в работе являются вырождающиеся эллиптические уравнения и связанные с ними весовые пространства типа Соболева.
Имя Сергея Львовича Соболева (1908-1989) хорошо известно широкому кругу математиков как одного из создателей понятия обобщенных функций, глубоко изменившего облик современной математики. Связанные с его именем такие понятия, как обобщенное решение, обобщенная производная, теоремы вложения, пространства Wp стали общепринятыми. Теоремы вложения, сформулированные и доказанные С.Л. Соболевым еще в тридцатых годах прошлого столетия, оказались весьма полезным аппаратом функционального анализа и уравнений в частных производных.
В настоящее время классические разделы математики претерпевают значительные изменения под влиянием наплыва новых идей и методов, главным образом связанных с функциональным анализом. В первую очередь эти идеи коснулись теории дифференциальных уравнений: обыкновенных и в частных производных.
Краевые задачи для вырождающихся эллиптических уравнений представляют собой один из важных разделов современной теории дифференциальных уравнений с частными производными.
Число опубликованных работ по вырождающимся эллиптическим уравнениям весьма значительно. В этих исследованиях в основном рассматривались вырождающиеся эллиптические системы уравнений первого порядка (см., например, работы A.B. Бицадзе, И.Н. Векуа, J1.C. Парасюк и т.д.). Что касается вырождающихся эллиптических уравнений второго порядка, то к числу первых в этом направлении относится работа М.В. Келдыша (1951), где впервые указаны случаи, когда характеристическая часть границы области может освобождаться от граничных условий, которые заменяются условием ограни-
ченности решений. Позже A.B. Бицадзе в своей работе указал, что условие ограниченности может быть заменено граничным условием с некоторой весовой функцией.
Одним из представителей вырождающихся эллиптических уравнений второго порядка является уравнение вида
д2и д2и ди
д + уд + ад=
которое впервые было рассмотрено И.Л. Каролем. Им были построены фундаментальные решения этого уравнения при а < 1. Позлее P.C. Хайруллин в своей работе с помощью этих фундаментальных решений исследовал основные краевые задачи для уравнения (0.1.1) при тех же значениях а.
Отметим, что к вырождающимся эллиптическим уравнениям приводят прикладные задачи гидро - и газовой динамики, теории упругости, перенос нейтронов и другие процессы в физике и механике. Значительное количество примеров приведено в работе [20].
В данной работе дается определение одного класса весовых пространств
С.Л. Соболева. Освещается вопрос о плотности множества финитных функций в данном весовом пространстве. Доказана теорема о плотности финитных функций в весовом пространстве Соболева в кубе П = (0, а)п. Дается приложение этого весового пространства при изучении задачи Дирихле и задачи Е для одного вырождающегося эллиптического уравнения второго порядка.
Центральное место занимает исследование первой, третьей и смешанной краевых задач для эллиптических уравнений, вырождающихся на различных частях границы цилиндрической области. Доказывается однозначная обобщенная разрешимость этих краевых задач в весовых пространствах С.Л. Соболева, также устанавливается фредгольмова разрешимость смешанной краевой задачи для вырождающегося эллиптического уравнения. Далее рассмотрена задача Дирихле для нелинейного вырождающегося эллиптического

Затем, так как

имеем
J к%xydQ > 0.

С учетом условия (2.2.4) находим, что
lim I -h-ujSluiXnu2dQ = 0.
оа->0 J £

Для первого слагаемого в (2.2.7) имеем
lim J uujsdQ = J Tpu2us2dQ,

lim J = j i)u2tdQ.

Теперь второе и третье слагаемые в (2.2.7) оцениваются величинами

фщи wSlt Щ

(1 — 2er)1/2 (inSi (ф))1/2_£’
J У > °»i Uxj u iXi dQ

(l-2e)V2 (ln52())
J 1/2-e ’
следовательно, они стремятся к нулю при 6 —> 0 и 6 —> 0.
Значит ||«||2о < 0. Отсюда и = 0.

Аналогично доказывается единственность обобщенного решения первой краевой задачи для уравнения (2.2.1) при I — оо, J < оо и I < оо, J — оо.
Доказательство существования проведем модифицированным методом М.И. Вишика [7]. Билинейная форма В{и,ь) при любом фиксированном V € Н