Вопросы разрешимости некоторых нелинейных краевых задач

• Автор: Покровский, Илья Леонидович
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2003
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 93 с.

СОДЕРЖАНИЕ
Введение
Глава 1. Исследование спектра Фучика с помощью неявного функционала.
1.1. Классическая задача о спектре Фучика.
1.1.1. Введение
1.1.2. Постановка задачи. Построение неявного функционала .. 10 1.1.3. О критических точках и критических значениях неявного
функционала
1.1.4. О множестве меньших значений неявного функционала
1.1.5. Условия Пале - Смейла
1.1.6. Деформационная лемма
1.1.7. Основные утверждения
1.1.8. О множествах меньших значений функционала Х(и)
1.1.9. Пример
1.2. Исследование спектра задачи с нелинейным вхождением параметра в весовую функцию.
1.2.1. Построение неявного функционала
1.2.2. О критических точках и критических значениях функционала Х{и)
1.2.3. Вспомогательные утверждения
1.2.4. Основные утверждения
1.2.5. Пример
1.3. Исследование спектра Фучика задачи с весовыми функциями
Глава 2. О разрешимости в целом квазилинейного гиперболического уравнения типа Кирхгофа с подчинёнными членами.
2.1. Введение. Формулировка основной теоремы
2.2. Априорные оценки первого порядка
2.3. Априорные оценки второго порядка
2.4. Доказательство основной теоремы
2.5. Пример
Глава 3. Неограниченность решений краевых задач с нелокальными коэффициентами.
3.1. Введение
3.2. Вспомогательные предложения о дифференциальных неравенствах
3.3. Основные теоремы
3.4. Доказательство основных теорем
3.5. Примеры
3.6. Гиперболическая задача
3.7. Примеры и контрпример
Литература
Введение
Область применения линейных моделей для описания сложных реальных физических процессов часто бывает весьма ограничена и адекватный подход к их изучению приводит к необходимости рассмотрения краевых и начально -краевых задач математической физики в нелинейной постановке. Тематика диссертации охватывает вопросы теории нелинейных краевых задач, впервые рассмотренные чешским математиком С. Фучиком и названные в этой связи задачами о спектре Фучика. В последние годы большой интерес вызывают также проблемы разрешимости или отсутствия решений в целом нелинейных краевых задач. В диссертации эти вопросы поставлены для нелинейных эволюционных уравнений типа Кирхгофа. Несмотря на то, что в последнее время появилось большое число работ в области теории нелинейных дифференциальных уравнений с частными производными, решение перечисленных выше проблем ещё далеко от завершения, что указывает на актуальность тематики диссертации.
Целью настоящей работы является разработка методики исследований и получение новых результатов в следующих направлениях:
- расширение спектрального множества задачи о спектре Фучика оператора Лапласа;
- обобщение результатов на случай рь-лапласиана и для нелинейных операторов с переменными коэффициентами;
- доказательство существования и единственности решения смешанной задачи для нелинейного уравнения типа Кирхгофа с подчинёнными членами;
- вывод достаточных условий неограниченности решений смешанной задачи для нелинейного вырождающегося эволюционного уравнения типа Кирхгофа.
В работе получены следующие результаты:
1. Предложен подход к исследованию спектра Фучика в многомерном случае, основанный на интерпретации спектрального параметра как специальным образом построенного (неявно) функционала. При этом показано, что гомотопический тип множества меньших значений этого функционала является функцией точки резольвентного множества, что позволяет представить множество значений спектрального параметра в виде бифуркационной диаграммы.

2. Показано, что множество точек спектра Фучика оператора Лапласа может быть расширено по сравнению с известным ранее.
3. Получены аналогичные результаты для задачи о спектре Фучика р-лапласиана, для задачи с нелинейным вхождением спектрального параметра в весовую функцию и т.п.
4. Доказана однозначная разрешимость смешанной задачи для уравнения Кирхгофа с подчинёнными членами.
5. Получено базовое неравенство, позволяющее установить априорные оценки норм решений смешанной задачи для эволюционного уравнения типа Кирхгофа. Эти оценки используются для доказательства неограниченности решений.
Результаты, полученные в диссертации, носят теоретический характер и представляют собой дальнейшую разработку некоторых направлений теории нелинейных задач математической физики. В качестве практических приложений результаты работы могут быть использованы при проектировании и расчёте конструкции подвесных мостов, а также в задачах о колебании эластичных струн и мембран.
Основные результаты диссертации докладывались на научно -исследовательских семинарах и конференциях: семинаре по дифференциальным уравнениям Московского энергетического института под руководством проф. Ю.А. Дубинского, семинаре по дифференциальным уравнениям факультета ВМК МГУ по руководством проф. И.А. Шишмарёва, семинаре по дифференциальным уравнениям Московского института стали и сплавов под руководством проф. В.А. Треногина, Воронежской зимней математической школе в 1990, 1991, 1993 и 1994 годах, Международной конференции «Differential Equations and Related Topics» посвящённой 100-летию со дня рождения И.Г. Петровского, Москва, 2001.
Основные результаты диссертации опубликованы в 4 работах автора. Содержание диссертации изложено в 3 главах, каждая из которых предваряется кратким обзором известных результатов.

которое противоречит определению (1.19)). Но тогда из равенств (1.21) и вариационного определения (1.19) первого собственного значения следует, что
функции и и щ являются обобщёнными решениями линейной задачи (1.17), т.е. удовлетворяют уравнению
V = o,
где принято обозначение Ьа=Л + а{/t^,x). Оператор La удовлетворяет условиям теоремы Харнака [50]. Но функции щ и щ равны тождественно нулю на множествах £2+ = {х е Q: и(х) < О} и Q_ = {х е Q : и(х) > 0}, соответственно, что приводит к очевидному противоречию со следующей оценкой (неравенством Харнака)
sup v < С inf v, v = иг, Q' аа Q, С >
О' п'
(при надлежащем выборе Q', таком что v(x,)>0 и v(x2)=0 для некоторых х, 2 &Q'). Это означает, что функция м,(х) является знакоопределённой в области Q, щ (х) > 0, X е Q сО. Следствие 1 леммы 1.10 доказано.
Следствие 2 леммы 1.10. Первое собственное значение Я% задачи (1.17) является простым.
Доказательство. Предположим, от противного, что существует два линейно независимых решения uf^ и ц[2) задачи (1.17), отвечающих собственному значению . Легко видеть, что тогда можно выбрать постоянные а, и а2, такие что линейная комбинация W, = а{ и[^ + а2 и[2^ окажется знакопеременной, w,+ ф 0 и Ф 0. С другой стороны, функция W,(x) является собственной функцией задачи (1.17), отвечающей собственному значению Я%,
-Aw, -я (Я,я,х)>ц = 0, xsQ,
.w'L=0>
что противоречит утверждению следствия 1 леммы 1.10 о знакоопределённости собственной функции, соответствующей первому собственному значению. Следствие 2 леммы 1.10 доказано.