Глобальные теоремы существования для многомерных уравнений сжимаемых неньютоновских жидкостей в пространствах Орлича

• Автор: Мамонтов, Александр Евгеньевич
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Докторская
• Год защиты: 2008
• Место защиты: Новосибирск
• Количество страниц: 335 с.

Оглавление
Введение

0.1 Актуальность теорем о математической корректности для

уравнений механики сплошных сред

0.2 Уравнения движения вязких сжимаемых жидкостей

0.3 Уравнения движения неньютоновских сжимаемых жидкостей

0.4 Обзор результатов по разрешимости уравнений вязких сжимаемых жидкостей

0.5 Обзор результатов по разрешимости уравнений несжимаемых неньютоновских жидкостей

0.6 Проблематика диссертации

0.7 Краткий обзор по теории пространств Орлича и экстраполяции

0.8 Краткий обзор содержания диссертации

0.9 Публикации и соавторство
Глава 1. Подготовительные сведения
1.1 Пространства Орлича
1.2 Пространства Соболева—Орлича
1.3 Свойства *-слабой топологии
1.4 Прочие вспомогательные утверждения
Глава 2. Точные классы корректности уравнений переноса в пространствах Орлича
2.1 Класс К и траектории
2.2 Исследование неравенства (2.0.5)

2.3 Априорные оценки и существование решений задач (2.0.1),
(2.0.2) в случае М е /С
2.4 Единственность решений и классы корректности
2.5 Контрпримеры в случае М 1C
2.6 Вспомогательные операторы Л и В
2.7 Обобщение на случай наличия слабой нелинейности — общие соображения
2.8 Предварительные сведения. Формулировка базовых условий
на нелинейность ш в (2.7.1)
2.9 Анализ соотношения (2.8.9)
2.10 Два пути вывода оценки (2.8.6)i. Формулировка всех условий на нелинейность со
2.11 Корректность задачи (2.7.1)-(2.7.3)
Глава 3. Интегральные преобразования функций Юнга и
экстраполяционные свойства пространств Орлича
3.1 Интегральные представления N-функций
3.1.1 Случай (3 = +оо
3.1.2 Случай /3 < +оо
3.2 Специальные интегральные преобразования
N-функций
3.3 Восстановление Б/. по его характеристике ср
3.3.1 Описание класса А
3.3.2 Описание класса В
3.3.3 Описание класса С
3.4 Предварительные итоги
3.4.1 Резюме пп. 3
3.4.2 О функции Шф и операторе
3.4.3 О природе класса V(f3)
3.4.4 О суперпозиции и упорядочивании преобразований
F.0i(J в терминах их пороговых функций
3.4.5 О приложениях к теории экстраполяции

3.5 О пространствах Орлича как экстраполяционных пространствах: постановка задачи
3.6 Предварительные построения
3.7 Внутренние отношения между разными
пространствами LUJß и Еш$
3.8 Отношения между Еи,р и пространствами Лоренца,
Марцинкевича и Орлича
3.9 Дополнительные свойства, связанные с Scoo[£]
3.10 О случае функций из, эквивалентных постоянным
3.11 Об оптимальности Теорем 3.8.6 и
3.12 Резюме экстраполяционных результатов
Глава 4. Глобальные решения для модели Бюргерса
4.1 Априорные оценки
4.2 Конструкция приближенных решений
4.3 Разрешимость основной задачи
4.3.1 Предельный переход в конвективных членах
4.3.2 Соображения монотонности
4.3.3 Энергетическое равенство
4.3.4 Завершение доказательства
4.4 Дополнительные замечания
4.4.1 Закон сохранения массы
4.4.2 О коэффициентах вязкости (об условиях (4.0.6))
4.4.3 О начальной скорости и внешних силах
4.4.4 О положительности плотности
Глава 5. Глобальные решения для модели с давлением
5.1 Разрешимость релаксированной стационарной задачи
5.2 Разрешимость основной задачи
5.2.1 Построение приближенных решений
5.2.2 Предельный переход — первый этап
5.2.3 Энергетическое равенство
5.2.4 Завершение доказательства

стоксовой, как это делается в теоретических исследованиях (см. например [383], [185]) и при численных расчетах (см. например [407]). Основная трудность заключается в обосновании предельного перехода по параметру регуляризации. В начале Главы 6 приведена предварительная постановка проблемы. В п. 6.1 приводится постановка основной «Задачи А» и намечаются пути ее решения, при этом задача ставится в достаточно общем виде (с «несферическими» определяющими уравнениями). В п. 6.2 обосновываются приведенные в п. 6.1 утверждения: о возможности построения специальной аппроксимирующей последовательности стоксовых тензоров (т. е. вспомогательных задач типа рассмотренных в Главе 5) и о существовании нетривиальных классов «несферических» тензоров Р рассматриваемого типа. В п. 6.3 доказывается основная Теорема 6.3.2 посредством предельного перехода от приближенной «Задачи Л£» к «Задаче А».
Глава 7 посвящена вопросу о том, как повысить гладкость решений, построенных в Главах 4-6, и вообще, как построить развернутую систему априорных оценок для системы (0.1), (0.2), (0.5). В определенном смысле это является обобщением метода априорных оценок решений уравнений (0.1), (0.7), развитого в [39], на случай неньютоновских жидкостей и любых п 2; и, с другой стороны, обобщением теории, развитой в [317] (и других работах по регулярности решений неньютоновской несжимаемой модели, упомянутых в п. 0.5), на случай сжимаемых жидкостей. Таким образом, новизна результатов Главы 7 состоит в одновременном учете сжимаемости, многомерности и неньютоновости. В п. 7.1 предлагается общий метод построения энергетических тождеств для системы (0.1), (0.2), (0.5); при этом, в частности, принципиальную роль играет исключение производных от плотности из энергетических тождеств все большего порядка, поскольку оценка этих производных представляет главную трудность и проводится в последнюю очередь. Также оказывается, что ключевую роль играет проблема оценок решений нелинейной эллиптической системы
сИуР(и) = Г. (0.10)
В п. 7.2 предлагаются априорные оценки для (0.10). В п. 7.3 показано на примере модельной задачи, аналогичной Главе 4, какие дальнейшие оцен-