Вопросы аппроксимации решений вырождающихся эллиптических уравнений и уравнений смешанного типа

• Автор: Мусхелишвили, Марина Гурамовна
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 1983
• Место защиты: Тбилиси
• Количество страниц: 85 c. : ил

ГЛАВА I. ТЕОРЕМЫ СУЩЕСТВОВАНИЯ СИСТЕМ РЕШЕНИЙ, АППРОКСИМИРУЮЩИХ РЕШЕНИЯ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ ДЛЯ УРАВНЕНИЙ ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО ТИПА, ВЫРОЖДАЮЩИХСЯ НА ГРАНИЦЕ ОБЛАСТИ
Глава II. АППРОКСИМАЦИЯ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ ДИРИХЛЕ ДЛЯ УРАВНЕНИЯ ХОЛЬМГРЕНА-ГЕЛЛЕРСТЕДТА В ОБЛАСТИ ЧАСТНОГО ВИДА
Глава III. АППРОКСИМАЦИЯ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ ДИРИХЛЕ ДЛЯ УРАВНЕНИЯ ХОЛЬМГРЕНА-ГЕЛЛЕРСТЕДТА В ОБЛАСТИ ОБЩЕГО ВИДА
ГЛАВА ІУ. АППРОКСИМАЦИЯ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ ТРИКОМИ ДЛЯ ОДНОГО МОДЕЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ СМЕШАННОГО ТИПА
ЛИТЕРАТУРА

Исследование дифференциальных уравнений в частных производных смешанного типа и уравнений, допускающих вырождение типа на границе области является одним из важных направлений современной теории уравнений в частных производных. Эти уравнения имеют большое прикладное значение, они возникают при решении задач газовой динамики, безмоментной теории оболочек и т.д.
В теории вырождающихся уравнений и уравнений смешанного типа основополагающими являются работы Ф.Трикоми ^1] и С.Гел-лерстедта [2] . Важные результаты в этой области были получены также Ф.И.Франклем [з], М.В.Келдышем [4], М.А.Лаврентьевым [5] , А.В.Бицадзе [б] и др. Ими были сформулированы основные краевые задачи и предложены методы их решения.
Предлагаемая работа посвящается исследованию вопросов аппроксимации решений краевых задач как для эллиптических уравнений с вырождением на границе области, так и для уравнений смешанного типа.
В комплексном анализе К.Рунге[7], Дж.Уолпф], М.В.Кел-дыиф], М.А .Лаврентьев [10| , С.Н.Мергелян [п] и др.подробно изучили проблему аппроксимации аналитических функций функциями специального вида, в частности, полиномами. Исследования в этом направлении ведутся интенсивно и в настоящее время. Поскольку действительная и мнимая части аналитической функции одного комплексного переменного есть решения уравнения Лапласа, то параллельно решена аналогичная проблема и для гармонических функций с двумя независимыми переменными. Естественным обобщением этой проблемы является аппроксимация решений произволь-

ног о эллиптического уравнения некоторыми частными решениями этого ке уравнения. Так,например, И,Н.Векуа[12] обобщил теорему Уолша о равномерной аппроксимации аналитических функций полиномами в замкнутой области для случая решений равномерно эллиптических уравнений второго порядка с двумя независимыми переменными.
В настоящей работе устанавливается несколько теорем, обобщающих отмеченную выше теорему Уолша для решений линейных эллиптических уравнений второго порядка с двумя независимыми переменными, вырождающихся на границе области, а также для решений модельного уравнения смешанного типа.
Первая глава диссертации основана на известных результатах теории краевых задач для эллиптических уравнений второго порядка, вырождающихся на границе области их задания, в частности, для уравнений
где уу1ъ.О ,а а,(>, С -некоторые аналитические функции своих аргументов, причем С $0 . Оба эти уравнения рассматриваются в областях, лежащих в верхней полуплоскости ^
примыкающих вдоль некоторого отрезка к оси ^ - 0 , на которой они параболически вырождаются. Известно, что для уравнения (I) имеет место теорема существования и единственности решения задачи Дирихле, а для уравнения (2) разрешимость задачи Дирихле зависит от показателя т. и коэффициента %
случаях,когда задачи Дирихле для уравнения (2) не всегда

4М(£-о') !(.«• чгр'[ <к-V _ (З.?й)
“Л . С*-(Г>' +/ .

Зафиксируем точку С0£ . При С ' £0 второе слагаемое в правой части (3.26) является аналитической функцией по % при Ц > 0 . В обозначениях
3(*)=и(2,ад

4(г)(*-у) <ку_ (*- формула (3.26) принимает вид
(3.27)
ОМГ)'
Применяя результаты теоремы 3.1 к формуле (3.27) в области , заключаем, что функция ^ (?) принадлежит
классу Н ^ (-Д) по 2 как в замыкании (г^ П $ ,так и в замыкании С ОдП^» Отсюда следует, что и функция А (%,С)
принадлежит классу

согласно котойспользованием результата И.Н.Векуа рому из принадлежности ЯД (2, ^классу И (оС+ " $) Вс^дУ 23)^ следует принадлежность Ъ[ (х,ьр этому же классу в завершается доказательство первой части теоремы 3.3.
Пусть теперь и (х,^) -решение, определенное во всей области & и выражающееся в сЙ* через некоторую аналитическую в 31*1/(-4,4) 1/5)* функцию *|.(х) по формуле (3.22), причем так же как и раньше полагаем, что 4 (0)- 0 .Тогда