Асимптотики собственных элементов одномерного оператора Шредингера с потенциалом, локализованным на множестве малой меры

• Автор: Хуснуллин, Ильфат Хамзиевич
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2015
• Место защиты: Уфа
• Количество страниц: 99 с.

Оглавление
Введение
Глава 1. Возмущенная краевая задача на собственные значения для оператора Шредингера на отрезке

§1. Постановка задачи

§2. Доказательство сходимости собственных элементов

§3. Построение первых членов асимптотик

§4. Построение полных асимптотик

§5. Обоснование асимптотик

Глава 2. Оператор Шредингера на оси с потенциалами, зависящими от двух параметров

§1. Постановка задачи

§2. Предварительные сведения
§3. Сведение оператора "Н^’д к оператору Цє
§4. Случай общего положения
§5. Критический случай для вещественных потенциалов
§6. Критический случай для комплексных потенциалов
Глава 3. Возмущение оператора Хилла потенциалом, зависящим от двух параметров
§1. Постановка задачи
§2. Предварительные сведения
§3. Доказательство основных утверждений
§4. Заключительные замечания
Литература

Введение
Многие задачи, с которыми сталкиваются сегодня во многих областях науки, в том числе при исследовании физических, химических, биологических процессов, имеют ряд существенных особенностей, которые не позволяют получить точные аналитические решения. Если даже точное решение некоторой задачи явно найден, оно может оказаться бесполезным для математической и физической интерпретаций или численных расчетов. Для решения подобных задач вынуждены пользоваться различного рода приближениями, или численными методами, или комбинацией тех и других. Среди приближенных методов основными являются методы возмущений по большим или малыми значениями параметра [4], [26]. Уравнения с малыми параметрами называются возмущенными по названию метода возмущений, применяемого для их решения. Теория возмущений была создана Рэлеем и Шрёдингером. Рэлей дал формулу для вычислений собственных частот и мод колебаний системы, мало отличающейся от более простой системы, которая допускает полное описание частот и мод колебаний [68]. С математической точки зрения этот метод эквивалентен приближенному решению задачи на собственные значения для линейного оператора, мало отличающегося от более простого оператора, для которого эта задача полностью решена. Шрёдингер развил аналогичный метод для задачи на собственные значения, возникающих в квантовой механике [71], [72].
В случаях, которые называются регулярными или регулярно возмущенными, решение возмущенной задачи равномерно переходит к решению невозмущенпой задачи при стремление малого параметра к пулю. На практике, даже для регулярно возмущенных задач актуален вопрос обоснования полученных приближенных решений, оценке погрешности

такого приближения. Однако не все задачи возникающие в различных областях науки и техники являются регулярными. Есть большой класс задач, для которых равномерный переход возмущенной задачи к предельной (невозмущенной) задаче оказывается невозможным. Такие задачи называются сингулярно возмущенными или сингулярными. Для таких задач характерна быстрое изменение решения в некоторых узких областях - пограничных и переходных слоях.
Значительный вклад в исследовании сингулярно возмущенных краевых задач внесли В. М. Бабич, Н. С. Бахвалов, Д. И. Борисов, В. Ф. Бутузов, В. С. Буслаев, М. И. Вишик, Р. Р. Гадылышш, Ю. Д. Голова-тый, Л. А. Дмитриева, В. А. Желудев, В. В. Жиков, А. М. Ильин, Л. А. Калякин, О. А. Ладыженская, Е. Ф. Леликова, В. Г. Мазья, В. П. Маслов, С. Н. Набоко, С. А. Назаров, A. X. Найфэ, В. Ю. Новокшенов, О.
A. Олейник, А. А. Пожарский, Б. А. Пламеневский, Ф. С. Рофе-Бекетов, Э. Санчес-Палепсия, Т. С. Соболева, А. Н. Тихонов, H. Е. Фирсова, М.
B. Федорюк, Г. А. Чечкин, А. С. Шамаев, S. Albeverio, F. Bentosela, R. Blankenbecler, R. M. Cavalcanti, R. Carmona, M. Christ, F. Delyon, P. Exner,
F. Gesztesy, M. L. Goldberger, D. Goinez, R. Hempel, D. Hundertmark, I. McGillivary, A. Kiselev, W. Kirsh, M. Klaus, S. Kotani, Y. Last, C. Leal, Sb. Ozawa, C. Remling, J. Sanchez-Hubert, B. Simon, T. Spencer, G. Stolz, P. Stollmarm, J. Walter и многие другие.
В работе [12] изучалась краевая задача на собственные значения вида
^ + A (рД) + £~тх (j)) , хЕ (о, Ь),
с условиями Дирихле на концах отрезка, где е > 0 - малый параметр, О < р0 < р(х) < pi, po,pi = const, х(0 ~ положительная функция при |£| ^ 1 и х(0 = 0 при |£| > 1, т € R, А(е) - спектральный пара-

Подставляя в (1.40) вместо функций уо(х) и у^(х) их асимптотики в точке хо (1.45) и делая замену переменной х — хо + £е, получаем, что
ос ос г
уеХ'±(х,Ц,£) =^егУг,0(О + ^£-^±0,
1=0 1=1 j=l

ЫО=К(0, г±({) = ЕлЙ,/0, Ю'«о. (1.46)

В соответствии с методом согласования асимптотических разложений внутреннее разложение будем искать в виде
оо ос г
Ут(^^е) = 5>Ч,о(0 + ЕЕ^Л;((). (1-47)
г=0 г=1 3=

Уг, о(0=Ко(0. И,,(0 = Кд(0, £^±оо. (1.48)
Разложим функции р, д в ряды Тейлора в окрестности точки то и перепишем их в переменных £ = (х — хо)е-1:
.УЧа),, , А ,9«)(1о),
Р(Х') = Е4‘Ч^С. Ф^Е^Ч^У (1-49)
г=0 г- г=
Подставляя ряды (0.6), (1.47) и (1.49) в уравнение
(II- Лле) уы =
и собирая коэффициенты при одинаковых степенях е, д, получаем следу-ющие уравнения для коэффициентов внутреннего разложения:
, . , ± (V{{ °(а?о)ед-£)<1У1,а
+ ||7^Г‘-2Чо-л.р<-2,»,

(1.50)