Весовые пространства Степанова и точные оценки решений эволюционных уравнений

• Автор: Абунавас Мохаммад Халиль
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2004
• Место защиты: Воронеж
• Количество страниц: 70 с.

Глава I. Задача Коши для абстрактных диференциальных
уравнений первого порядка
§1.1 Вектор-функции и некоторые их свойства
§1.2 Оператор-функции и полугруппы
§1.3 Задача Коши для дифференциальных уравнений первого
порядка
Глава II. Пространства Степанова со специальным введенным
весом
§2.1 О невозможности одного неравенства в
пространствах Ьр1,
§2.2 Пространства
§2.3 Функциональная норма интегрального оператора и ее
оценка
§2.4 Пространства
Глава III. Оценка решений дифференциальных уравнений
§3.1 Обыкновенные дифференциальные уравнения
§3.2 Уравнение в банаховом пространстве
§3.3 Дифференциальные уравнения в банаховом пространстве
с вырождением
§3.4 Волновое уравнение
Литература

Часто решения эволюцинных уравнений записываются в виде
u(t) = B(t)f, (1)
где /- элемент некоторого банахова пространства F с нормой B(t)-семейство линейных ограниченных при каждом t £ [0, оо) операторов действующих из F в некоторое банахово пространство U.
Представление (1) используется при исследовании различных свойств решений соответствующих задач. Например, при изучении поведения решения задачи Коши при t -» оо для абстрактного дифференциального уравнения вида
^=Л«(4)+/((), (2)
»(0) = 0, (3)
где А- генератор Со- полугруппы U(t) действующей в банаховом пространстве Е, f(t)~ векторнозначная функция со значениями в Е.
Как известно (см. [2]), в этом случае решение задачи (2)-(3) имеет вид
u(t) = J*U(t-s)f(s)ds = B(t)f. (4)
Так как оценку поведения решения u(t) при t —*■ со желательно получить наиболее точную, то здесь важной характеристикой оператора Bit) является функция
myt)
feF IIJIIF
которая вводится в настоящей диссертации и называется функциональной нормой оператора B{t).
Очевидно, что имеет место оценка
ИОИ^тЮИ/н*
(5)
при этом она является наилучшей в классе оценок вида
ІМ0ІІС/ < рШПр,
(6)
в том смысле, что если установлена оценка (6), то необходимо р{1) >
В диссертации изучается вопрос о поведении решений уравнения вида (1) при £ —¥ оо в случае когда А является производящим оператором Со полугруппы. Как известно, уже для ограниченных операторов А, когда, по выражению С.Г. Крейна (см. [1], стр. 274) "... вопросы существования и единственности решения задачи Коши, непрерывной зависимости его от начальных данных всегда решались положительно и поэтому основное внимание уделялось поведению решений при £ -> сю, то для неограниченного оператора эти вопросы становятся центральными". Поэтому в последние десятилетия этому вопросу уделяется большое внимание.
В частности, его изучению посвящена теория стабилизации решения задачи Коши для параболических и гиперболических однородных (/(£)
0) уравнений [14]—[16], где результаты формулируются в терминах начальных данных Коши.
В диссертации исследуется вопрос о поведении решений уравнения (2) в зависимости от свободного члена f(t).
С этой целью здесь изучается вопрос о нахождении явного вида функт{і).

1 .ip(x) e C'((Î)00;00), 2. 0,3.(a;) = oo.
Через Sp^(R) обозначим класс векторнозначных функций со значениями в банаховом пространстве Е локально интегрируемых по Бохнеру и для которых конечна норма
\f\sP,v,R =sup[r(<+1)||/(s)||^s]p]. (р>1) (2.4.1)
(ей JW)
Также как и в случае пространств SPt{p, показывается, что эти пространства банаховы. Кроме того, в них можно ввести эквивалентные нормы
ll^kvR = ~ ^_1(«)]||/(«)!№> (2-4-2)
П/1Ь-^Я = sup[р_жр[ч>~3) - ¥>_1(0]ll/(s)llp<&]'. (2-4-3)
где р(х), х G [0,оо) некоторая весовая функция.
А, также, справедлива следующая
Лемма 2.4.1. Пусть функция р(х) G ^ такая, что 0 < р(х) < р(0) < оо, р'{х) < 0 и
г оо
J p(x)dx < оо, (2.4.4)
тогда нормы (2.4.1), (2.4.2), (2.4.3) эквивалентны.
Докажем сначала для Пусть конечна норма (2.4.1), тогда aqo ОО I Jfc-I
l p{s-t)\f{s)\ds= Y,Jt+k p{s-t)Wf{s)\ds<
k=0 t+K 16Й1 Jt k=)
(2.4.5)