Вариационная задача Дирихле для некоторых классов эллиптических уравнений с вырождением

• Автор: Каримов, Алишер Гашович
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2009
• Место защиты: Душанбе
• Количество страниц: 99 с.

Оглавление
Введение
1 О гладкости решений вариационных задач Дирихле для эллиптических уравнений, ассоциированных с некоэрцитивными билинейными формами в ограниченной области

1.1 Функциональные пространства

1.2 Вариационная задача Дирихле с однородными граничными условиями

1.3 Вариационная задача Дирихле с неоднородными 1’раничны-

ми условиями

2 Вариационная задача Дирихле для вырождающихся эллиптических уравнений в полупространстве

2.1 Формулировка основных результатов

2.2 Доказательство теоремы

2.3 Доказательство теоремы

3 Вариационная задача Дирихле для вырождающихся эллиптических уравнений в предельно-цилиндрической области
3.1 Формулировка основных результатов
3.2 О компактности некоторых вложений в Лебеговом пространстве с весом
3.3 Интерполяционные неравенства для весовых пространств
3.4 Вариационная задача Дирихле с однородными граничными условиями
3.5 Вариационная задача Дирихле с неоднородными граничными условиями

Введение
Диссертационная работа посвящена исследованию разрешимости вариационной задачи Дирихле для вырождающихся эллиптических уравнений и изучению дифференциальных свойств ее решений. Как уже отмечено многими авторами, пространство введенное С.Л. Соболевым в
тридцатые годы прошлого столетия, дал сильный толчок в развитии теории краевых задач для дифференциальных уравнений. Обобщением этого пространства является пространство ИДДС) функций и(х), определенных на Г2, с конечной нормой
11«;И£а(п)И = Е/рар(кЧх)Чх +1 и{х)Чх и&1=гО О
Здесь и далее Г2 - область в п - мерном евклидовом пространстве Дп, г - натуральное число, а,р - вещественные числа, р > 1, к = (к, к2, , кп) - мультииндекс, |&| = к + - Ь кп - длина мультиин-
декса к,
ди(х)
У> Чх) = г г 7Г
дх-дх2 дхкк
- обобщенная в смысле С.Л. Соболева производная функции и(х) мультииндекса к, р{х) - регуляризовагаюе расстояние от точки х 6 П до границы дО, области Г2, т.е. бесконечно дифференцируемая положительная функция, удовлетворяющая неравенствам
р(х) < сйзДа;, 90} < Мр(х),
|р№)(®)1 < Мкр1~М{х),
для любого х 6 £1 и любого мультииндекса к. Если же ЗГ2 = 0, т.е.
= Я,п, то р(х) — (1+х2)1!2. Известно, что (см., например, И. Стейн [53] стр. 203) такая функция р(х) существует для любой строго внутренней области С Яп.

Свойства пространств WTa(f2) достаточно хорошо изучены в случае, когда Ü С Rn - ограниченная область с гладкой (гг — 1) - мерной границей <912 — Г. Этому случаю посвящены работы В.И. Кондрашова [28], Л.Д. Кудрявцева [29], С.Л. Соболева [52], С.М. Никольского [44], С.В. Успенского [56], П.И. Лизоркина [30], В.В. Шанькова [57], и др. Более подробную библиографию можно найти в обзорах О.В. Бесова, В.П. Ильина, Л.Д. Кудрявцева, П.И. Лизоркина, С.М. Никольского, [4], С.М. Никольского, П.И. Лизоркина, Н.В. Мирошииа [48], книгах С.М. Никольского [45], X. Трибеля [54, 55].
Теоремы вложения, прямые и обратные теоремы о следах для пространств W£a(n) играют важную роль в теории краевых задач для вырождающихся эллиптических уравнений. Их приложения в исследовании разрешимости вариационной задачи Дирихле для вырождающихся эллиптических уравнений второго порядка были продемонстрированы Л.Д. Кудрявцевым в работе [29]. Случай эллиптических уравнений высокого. порядка рассматривался в цикле работ С.М. Никольского, П.И. Лизоркина и их учеников, который начинается с работы С.М. Никольского, П.И. Лизоркина [47]. В работах С.М. Никольского [46], П.И. Лизоркина и С.М. Никольского [34, 35, 36], П.И. Лизоркина [32], Н.В. Мирошииа [39, 40, 41], П.И. Лизоркина и Н.В. Мирошина [33] изучены однозначная разрешимость и дифференциальные свойства решений вариационной задачи Дирихле, связанной с билинейной формой
вим= Е / aki(x)v,(kx)vM(x)dx, (0.0.1)
I Щ|<гп
коэффициенты которой имеют форму произведения ограниченной функции и степени регуляризованного расстояния до границы области.
Зависимость гладкости решения этой задачи от гладкости граничных функций исследовалась в работах Б.Л. Вайдельдинова [1, 2].
В указанных выше работах С.М. Никольского, П.И. Лизоркина. Н.В. Мирошина, Б.Л. Вайдельдинова предполагалось, что форма (0.0.1) удовлетворяет условию коэрцитивности. Вариационная задача Дирихле, связанная с билинейной формой (0.0.1), когда эта форма не является коэрцитивной, изучалась К.Х. Бойматовым и С.А. Исхоковым в работах [9] -[16], [20] - [24]. Дифференциальные свойства решений этой задачи в зависимости от гладкости коэффициентов оператора и правой части уравнения изучались в работах [14], [20], [24]. Однако, вопрос о зависимости гладкости решений от гладкости граничных функций в указанных работах не

Теорема 1.3.2. Пусть выполнены все условия теоремы 1.3.1, целые числа т, а такие, что 0 < т < то, 0 < а < то. Тогда сужение оператора Р — (ВТ) на класс УУ’ДП) есть алгебраический и топологический изоморфизм

х П вг2+а-а-*-11г).

Доказательство. Для удобства записи вводим обозначения

V = у2дг:дт(п) х п вга'5'1/2(г).

Далее докажем, что оператор Р осуществляет взаимно однозначное непрерывное отображение УУ на V.
Пусть и Е УУ. Тогда (см. (1.1.9)) и = со + Ф, где ш €1V 2+т(П) Ф 6 и г/ = тах{т, сг},/.г = тах{0, т — а}. Из теоремы 1.1.2 следует, что И2 д+д() —> ЩСледовательно (см. лемму 1.3.1 ) Ви Е У2™7-а() и справедливо неравенство
||В«; Ц£1а(П)Ц « Ц«; ВДт(П)||. (1.3.17)
С другой стороны, так как ш €1У

<9п£
<Э5Ф дп5

я = 0,1
Используя (1.3.17), (1.3.18) и представление (1.1.9) имеем
— 1 !Г
||РщУ||2 « |кЖ2т(12)||Ч||Ф;т()||2+Е||7 г;+а_а"5_1/2(Г)
.1 дп3

|2 | плч. тт/г+т /оМ|2
«+ ЦФ;т(12)||2. (1.3.19)
При получении последнего неравенства мы воспользовались оценкой (1.1.4) и вложением Иа+ДП) —* (12). Так как неравенство (1.3.19)
верно для любых ш, Ф, удовлетворяющих равенству (1.1.9), то
||РщУ|| « ЦщУУЦ, (1.3.20)
что и означает непрерывность отображения Р : УУ —> У.
Теперь докажем, что оператор Р обратим и выполняется обратная по отношению к (1.3.20) оценка. Берем произвольный элемент Т Е V. Тогда