Асимптотические решения уравнения индукции

• Автор: Есина, Анна Ивановна
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2014
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 99 с. : ил.

Оглавление
Введение

Уравнения индукции

Асимптотика спектральных серий

Асимптотические свойства решения задачи Коши

Краткое содержание диссертации

1 Предварительные сведения

1.1 Общие свойства уравнения индукции

1.1.1 Происхождение

1.1.2 Спектральная задача

1.1.3 Задача Коши

1.2 Асимптотические решения уравнения второго порядка на комплексной плоскости
1.2.1 Линии Стокса и матрицы перехода
1.2.2 Уравнение с регулярными особыми точками
2 Уравнение Шредингера с мнимым периодическим потенциалом
2.1 Формулировка результатов
2.1.1 Псевдоспектр
2.1.2 Асимптотика спектра
2.1.3 Доказательство теоремы
2.2 Пример поля скоростей вида V(z) = cos г
2.3 Пример поля скоростей вида V(z) = cos 2 + cos2z
2.4 Матрицы монодромии и уравнения на точки спектра
2.5 Точки поворота
2.6 Линии Стокса
2.7 Описание топологических случаев
2.8 Матрицы монодромии
2.9 Спектральный граф и описание его ребер
2.10 Условие квантования на римановой поверхности

3 Спектральные серии оператора индукции на поверхности вращения
3.1 Постановка задачи
3.2 Формулировка результатов
3.3 Схемы доказательств теорем
3.4 Сфера
3.4.1 Спектр и взаимное расположение линий Стокса
3.4.2 Доказательство теоремы 3.
3.4.3 Случай поля скоростей вида V(г) = (0, г)
3.4.4 Пространственная структура магнитного поля проводящей жидкости на сфере
3.4.5 Риманова поверхность и условия квантования на ней
3.5 Тор
4 Асимптотика решения задачи Коши с быстроменяющимся полем скоростей
4.1 Постановка задачи
4.2 Зависимость магнитного поля от функции сглаживания поля
скоростей в случае идеально проводящей жидкости
4.3 Жидкость с высокой проводимостью: асимптотика решения задачи Коши
4.3.1 Формальная асимптотика
4.3.2 Оценка для функции Грина уравнения (4.1)
4.3.3 Обоснование формальной асимптотики
4.3.4 Асимптотика решения задачи Коши

Введение
Уравнения индукции
Диссертация посвящена исследованию свойств решений системы уравнений индукции в пределе малого сопротивления. Эти уравнения представляют собой часть уравнений Максвелла, описывающую эволюцию магнитного поля в проводящей жидкости с высокой проводимостью. В данной работе рассматривается линейная система, в которой поле скоростей жидкости предполагается заданным, т.е. не учитывается обратного влияния магнитного поля на поле скоростей.
Основные приложения уравнения индукции относятся к астрофизике: звезды, планеты и галактики обладают магнитными полями, которые могут сильно меняться во времени и в пространстве. Описание происхождения и пространственной структуры магнитных полей относится, в частности, к т.н. теории динамо; различные физические и математические аспекты этой
теории обсуждаются, например, в [50], [54], [55], [56], [77], [70], [83], [
[8], [2], [9], [11], [14], [48], [49], . Выделим несколько цептраль-
[5], [б], [7] , [88], [
пых вопросов в этой области; изучению их различным вариантов посвящено огромное количество работ (см., например, цитированные выше статьи и книги).
• Поведение решения задачи Коши со временем; в частности, возможность роста решения. Рост поля из малого начального возмущения считается одним из основных механизмов образования магнитных полей в астрофизике.
• Исследование пространственной структуры решения задачи Коши; согласно наблюдениям и численным экспериментам, эти функции, как правило, распределены сильно неравномерно - они сильно возрастают близи множеств положительной коразмерности.
• Изучение структуры спектра и поведения собственных функций стационарного оператора.
Уравнения индукции содержат естественный малый параметр (в диссертации для удобства изложения он обозначен через г2) - сопротивление

2.4 Матрицы монодромии и уравнения на точки спектра
Для описания асимптотики спектра мы исследуем матрицу монодромии уравнения, т.е. матрицу оператора сдвига на период в пространстве решений. Ниже вычислена асимптотика матрицы монодромии в специальном базисе. Как уже упоминалось, принадлежность Л дискретному спектру эквивалентно условию ТгМ = 2, где М - матрица монодромии.
2.5 Точки поворота
Рассмотрим пример поля скоростей вида V(z) = cosz + cos2z, для того, чтобы построить определенные примеры графов линий Стокса и спектральный граф. В этом случае на комплексной плоскости существует четыре серии точек поворота, расположенных периодически, с периодом 27Г. Решая уравнение Л = i(cosz + cos2z), получаем искомые точки:
zi — arccos(-(—1 + л/9 — 8г Л)); z2 — — arccos(-(—1 + л/ 9 — 8гЛ)).
z3 = arccos(^(—1 — л/9 — 8гЛ)); Z4 = — arccos(^(—1 — л/9 — 8гЛ)).
Точки поворота зависят от параметра Л. Ветвь выбирается следующим образом:
arccos (Л) : С[0, +оо) -э {Л G C|i?earccos(A) > 0}; л/9 — 8гА : С[0, +оо) —> -[А £ С|7?ел/9 — 8iA > 0}.
2.6 Линии Стокса
Предложение 2.1. В случае V(г) = соэ 2: + сое 2;г существует 27 топологически различных случаев взаимного расположения линий Стокса на комплексной плоскости г.
Доказательство. Это следует из восьми свойств линий Стокса, приведенных выше, и получается перебором всех возможных случаев. Приведем некоторые из них: