Методы регуляризации и нормальных форм для сингулярно возмущенных задач со спектральными особенностями и для задач с быстро изменяющимися ядрами

• Автор: Бободжанов, Абдухафиз Абдурасулович.
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Докторская
• Год защиты: 2001
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 259 с.

СОДЕРЖАНИЕ
Введение
Глава 1. Интегральные уравнения Вольтерра с быстро изменяющимися ядрами и их асимптотическое интегрирование

1.1. Эквивалентная интегродифференциальная система. Частичная регуляризация задачи

1.2. Полная регуляризация задачи

1.3. Разрешимость итерационных задач

1.4. Корректная разрешимость интегродифференциальной системы

1.5. Обоснование асимптотической сходимости формальных решений

1.6. Предельный переход в системе (1.2)

1.7. Пример
Глава 2. Регуляризованные асимптотические решения сингулярно возмущенных интегральных систем с диагональным вырождением ядра
2.1. Интегральные уравнения с диагональным вырождением ядра в скалярном случае
2.1.1. Регуляризация задачи. Разрешимость итерационных задач
2.1.2. Асимптотическая сходимость формальных решений
2.1.3. Пример
2.2. Системы интегральных уравнений с диагональным вырождением ядра
2.2.1. Регуляризация задачи
2.2.2. Разрешимость итерационных задач
2.2.3. Обоснование асимптотической сходимости
2.2.4. Предельный переход в задаче (2.69)
Глава 3. Регуляризация нелинейных интегродифференциаль-ных систем с быстро изменяющимися ядрами
3.1. Регуляризация задачи
3.2. Полная регуляризация задачи
3.3. Разрешимость итерационных задач
3.4. Асимптотическая сходимость формальных решений
3.5. Пример
Глава 4. Внутренний переходной слой в линейной задаче оптимального управления с быстро изменяющимся ядром функционала

4.1. Регуляризация сингулярно возмущенных систем управления с быстро изменяющейся функцией демпфирования
4.1.1. Регуляризация задачи
4.1.2. Разрешимость итерационных задач
4.1.3. Асимптотическая сходимость формального ряда
4.2. Внутренний переходной слой в линейной задаче оптимального управления с быстро изменяющимся ядром функционала
4.2.1. Некоторые сведения из теории оптимального управления
4.2.2. Регуляризация задачи (4.44). Разрешимость первой итерационной задачи
4.2.3. Построение высших приближений
4.2.4. Корректная разрешимость сингулярно возмущенной двухточечной краевой задачи и оценка остаточного члена
4.2.5. Контрастные структуры в решении задачи (4.44)
Глава 5. Асимптотика решений нелинейных сингулярно возмущенных систем в критическом случае
5.1. Нормальная форма и существенно особые сингулярности укороченной системы
5.2. Алгоритм нормальных форм для исходной системы
5.3. Регуляризованная асимптотика решения слабо нелинейной задачи
5.4. Построение асимптотического решения исходной задачи
Глава 6. Алгоритм асимптотических решений задач с точкой поворота
6.1. Регуляризация задачи
6.2. Разрешимость итерационных задач и построение формальных решений
6.3. Асимптотическая сходимость формальных решений
6.4. Пример
Список литературы

ВВЕДЕНИЕ
Теория асимптотического интегрирования сингулярно возмущенных задач, рассмотрению которой посвящена настоящая работа, представлена трудами как российских, так и зарубежных исследователей. Свое первоначальное развитие эта теория получила еще в работах Лиувил-ля [93], Биркгофа С.Д. [15], Л.Шлезингера [181], Прандтля [130]. Однако только в конце сороковых годов настоящего столетия проблемами сингулярно возмущенных задач стал интересоваться широкий круг математиков. Благодаря работам [158,159] А.Н.Тихонова, посвященным исследованиям предельного перехода в сингулярно возмущенных уравнениях с медленными и быстрыми переменными, начинается систематический этап развития математической теории асимптотического интегрирования. В конце пятидесятых годов для линейных задач разрабатывается метод Вишика-Люстерника [31,32], а для нелинейных задач- метод Ва-сильевой(см.например, [25-30]). Эти методы стали основой исследования пограничного слоя в задачах, решение которых стремится к предельному с экспоненциальной скоростью (когда возмущение стремится к нулю). Существенные результаты, обобщающие и развивающие метод Вишика-Люстерника-Васильевой, были получены В.Ф.Бутузовым (см.например, [9-14]). Рассматривая сингулярно возмущеные задачи в областях с негладкой границей, он приходит к идее углового пограничного слоя, на основе которой создает эффективный метод исследования как линейных так и нелинейных сингулярно возмущенных уравнений в частных производных. К этому же направлению примыкают и исследования A.B. Нестерова, развивающие идеи метода погранфункций на задачи с более сложными краевыми условиями в неограниченных областях с негладкой границей (см., например, [118-119]). Развитие идей метода пограничных функций для интегродифференциальных уравнений проводилось в основном в работах М.И.Иманалиева (см., например, [71,72]). Эти же уравнения, но рассматриваемые с позиций метода усреднения[112-114], явились объектом изучения работ А.Н.Филатова и его учеников [169,170].
Сингулярно возмущенные уравнения возникают и при изучении периодических процесссов. При рассмотрении дифференциальных уравнений с большими параметрами Дородницын A.A. разрабатывает теорию асимптотического интегрирования, в основе которой лежат идеи, от-

где Ь,^) = {/(#); 0}, а = {ж0, 0}, а матрицы Т{£), М, N имеют вид
т,л-( -в(г)я^)в*(г) /и) /о о
- (А*(*)+ /*(*)!) У’1 о
Здесь /„ -единичная матрица размерности га х га. Через (с;(4)}, {<^(*)} обозначим системы собственных векторов матриц Т{£) и Т* (I) соответственно, т.е.
Т(£)с*(г) = Л$)с*(*), Т*(£)с^) =
= (с,-(0, ^?(^)) ~ ^5.? = 2т1?
где - символ Кронекера.
Будем предполагать выполненными следующие условия:
1) элементы матриц Аф), Вф), <2(£) и Я(<), а также компоненты вектора f(t) и скалярная функция д,ф) принадлежат классу
С“([0,Т],К).
2) а) Х3ф) ф 0, j ф п + 1, j = 1, 2га V« £ [0, Т];
б) Лп + 1(4) з 0, V* £ 5 С [0, Г], ХШЦ) ф № 6 [0, Г] 5;
в) А;(«) ф $), г ф ], г, } = 1, 2 п, V* £ [0, Г];
г) Яе А;(4) <0, у = 1, гг, Яе АД*) >0, у = гг + 1, 2 гг, V £ £ [0, Т].
Здесь Я - некоторое подмножество отрезка [0, Г], причем Я ф [0, Г].
^ 3) (ЖсДО),---, Мсп(0))АеЬ(Мсп+1(Т), •••, Л^с2„(Г)) ф 0. Здесь
М = (/„, 0), ТУ" = (0, /„)— матрицы размерности га х 2га.
4) (Л(*), 4+1(0) г 0(У* £ [0,Г]).
В отличие от предыдущего случая, здесь нестабильность спектра наблюдается не в отдельной точке, а на континуальном подмножестве. Это порождает в решениях задачи (0.77) контрастные структуры, которые невозможно описать с помощью классического метода регуляризации [95]. Для исследования последних привлекается метод нормальных форм [43], суть которого состоит в следующем.
Введем вектор V = {г>1, • • •, У2п} регуляризирующих переменных, удовлетворяющих нормальной форме
(Лу Г)г+
£1й = + е39Л*)еп+и IV = 1, (0.86)
где Л({) = (Над(Ах({), •••, А2„(*)), функции ду(£) £ С°°([0,Т],С1) находятся в процессе построения формального асимптотического решения