Асимптотическое поведение спектров краевых задач в областях с непериодическими концентрированными массами

• Автор: Яблокова, Екатерина Ивановна
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2004
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 109 с.

Условные обозначения

0.1 Обзор результатов, полученных для случая периодических концентрированных масс

0.2 Краткая характеристика полученного результата и структура диссертации

1 Спектральная задача с сильно неоднородной плотностью для оператора Лапласа

1.1 Постановка задачи для оператора Лапласа

1.2 Случаи 0 < т <

1.3 Случай т >

1.4 Случай т

2 Спектральная задача с сильно неоднородной плотностью для системы теории упругости

2.1 Постановка задачи для системы теории упругости

2.2 Случай 0 < т <

2.3 Случай т >
2.4 Случай т
Библиография

Условные обозначения
Далее в тексте диссертации использованы следующие обозначения: N — множество натуральных чисел;
ЛЛ1 — ^-мерное пространство действительных чисел;
Мй = {х : х € Ма, хд < 0};
О— ограниченная область с гладкой границей дО, в пространстве Мн~,(1> 3;
дП = ТТиГг, где 0 € Г2 С {ха = 0}, Гг = ГГи% при этом Ге = и Г£;

Ве — и— множество концентрированных масс, где В" — {х €
ВТ : (Х1-^)2 + ... + (Х<1-ч2)2 < е2}ПП, *й) =Ре е Г",п
1 Яе и В£ПдП = Г”;
Я£— количество концентрированных масс; Яе = 0(|1пе|а) при £ —► 0, а > 0;
Среднее значение функции (и) = -—г ( и(х) (1х
1^1 п
^ ч ( 1 в Г2 В£;
Функция неоднородной плотности ре(х) — < _т п ' ’
I £ В П
Пространство Соболева Я1 (О) — замыкание множества функций. и € С°°(П) по норме
1М12 = /(и2 + |Ун|2) (£г; п
Пространство Я^П, Г) — замыкание по норме пространства Я1 (Л) множества функций из пространства С°°(П), обращающихся в нуль в окрестности некоторого подмножества границы Г С 5П;
Весовое пространство Аг,р£(^)— множество функций, для которых
И/Нь^Щ) = (/Реф/2«*®)' < оо; п
0| — образ области О в локальных координатах £ = т.е. Г2| = {£ € Ж'* : £ £ Е О};
Г| — образ Ге при переходе к локальным координатам £;
71 — образ Г1 и 7е при переходе к локальным координатам £;
Я^— образ концентрированных масс Ве при переходе к локальным координатам £;
Функция р£(0 = Ре(еО, т.е. р£(0 = | ® в О П %
В = {£ 6 В*" : |£| < 1,& < 0}, = {£ 6 К1' : |£| < 1,6* = 0}, =
{& = 0}Г|;
Пространство Н(Щ, Г|)— замыкание множества функций из пространства обращающихся в нуль в окрестности Г| с Щ, по
норме
1М1я(пр = ./Vе2 + ч#>2№;

Пространство Н(Ш? , Г^) — замыкание множества функций из пространства С°°(М'1 ), стремящихся к нулю при |£| —» оо, £* < 0 и обращающихся в нуль в окрестности Г| С {£<* = 0}, по норме
1Н1 !(«*-)= / (У2е2 + ^у2)^-т.*
М(, А) — собственное подпространство линейного непрерывного оператора А, действующего из сепарабельного гильбертого пространства Н в Н, отвечающее собственному значению А, т.е. М{, А) = {и Е Н, Аи = Аи}.

Далее мы покажем, что следующая локальная спектральная задача является предельной для (1.1) в случае т > 2:
при |£|-+оо,&<0,
I ^о(0 (0 V* = 0 на Г|,

(1.34)
= 0 на
7Ї.
ЯГ = 1,2,
где Хв> — характеристическая функция множества В, 5и— символ Кронекера.
Рис. 4: ’’Предельная” область в локальных координатах £.
Здесь {уК Є Н(М<І ,Г}),К = 1,2,...}, а собственные значения (Аду К — 1,2,...} занумерованы в порядке неубывания и повторяются в соответствии с их кратностью.
Соответствующая (1.34) предельная краевая задача в локальных координатах имеет вид
-А{Ы = Хв>/ в & »
Уо -> 0 при |£| -> оо,& < 0,
^о = 0 на Г*,
(1.35)

Проверим условия Теоремы 19 в случае т > 2.
Обозначим Н£ и Но пространства Ь2,рХЩ) и соответственно,
со скалярными произведениями
ие,9е)не = 1 Ре Г 9е , (/°, 5°)я0 = / /° 9° <£•
В случае а (ж) ф 0 при т > 2 определим оператор Ае : Н£ —> Нг, положив Л£/ = це, где т>£— решение задачи (1.25).