Асимптотические решения уравнения колебаний пластины

• Автор: Голубева, Анна Сергеевна
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 1998
• Место защиты: Санкт-Петербург
• Количество страниц: 91 с. : ил.

Оглавление
Введение
Глава 1. Решения уравнения колебаний изотропной пластины, сосредоточенные вблизи замкнутых экстремальных циклов
§1. Основные уравнения лучевого метода. Граничные условия 18 §2. Системы координат. Решения ’’вещественных” уравнений эйконала и переноса в лучевых координатах
§3. Построение отраженных решений
§4. Условия устойчивости экстремального цикла по первому приближению
§5. Собственная частота и собственные функции в первом приближении
§6. Построение высших приближений
§7. Обоснование полученных формул
§8. Неоднородная изотропная пластина с переменными упругими свойствами
Глава 2. Решения уравнения колебаний неоднородной анизотропной пластины
§1. Основные уравнения. Уравнение эйконала. Фазовая и групповая скорости
§2. Плотность и поток энергии. Их усредненные значения.
Решение уравнений переноса
§3. Об отражении от границы
Список литературы

Введение
Настоящая диссертация посвящена исследованию высокочастотных изгибных колебаний тонких упругих неоднородных пластин.
Задача об изгибе пластин восходит еще к началу XIX века: впервые дифференциальное уравнение равновесия тонкой изогнутой пластинки постоянной толщины из однородного изотропного материала
было получено в мемуаре Софи Жермен, вышедшем в 1815 году. Гипотезы, фактически положенные в основу вывода уравнения Софи Жермен, были позднее сформулированы Кирхгофом [39]. Теория пластин, основанная на гипотезах Кирхгофа, носит название классической теории. Поскольку модель пластины Кирхгофа не учитывает влияние поперечных сдвигов и инерцию вращения нормальных элементов, классическая теория применима для изучения изгибных колебаний только в случае, когда толщина пластины мала по сравнению с характерным масштабом изменения напряженно-деформированного состояния. В частности, должно выполняться условие
/г -С А,
где к - толщина пластины, А - длина волны. (При выполнении этого условия поправками на поперечный сдвиг и инерцию вращения можно пренебречь).
В настоящей работе колебания пластин рассматриваются в рамках классической теории. Это, очевидно, влечет за собой необходимость выполнения указанного выше условия на длину волны А.Данное ограничение приводит к тому, что полученные в работе результаты имеют место для колебаний, при которых
к*«: л-1, (1)
где к - частота, к -С I толщина пластины.
Глава 1 диссертации посвящена построению асимптотики собственных частот и собственных форм изгибных колебаний ограниченной изотропной неоднородной пластины с закрепленным краем. Как известно, уравнение свободных колебаний такой пластины, рассматриваемой в рамках классической теории, имеет вид
рти + £>Д2ад = О,

(случай пластины с переменной поверхностной плотностью р = р(х, у) и постоянными упругими свойствами)

pwtt -+ DA2w + 2VD VAw + ADAw-~
"Г ( 2 BXyWXy Вхх'Шуу ByyWxx) — 0;

В = D{l-a)
(случай пластины с переменными р(х,у), изгибной жесткостью D = D(x,y) и коэффициентом Пуассона а = <т(ж, у) )
Здесь w = w(x,y,t) - прогиб срединной плоскости пластины,
л 2 д4 п д4 д4
Д2 = [
дх4 дх2ду2 ду4
- бигармонический оператор.
Подстановка
w = e~iktu(x, у)
дает уравнения относительно собственных частот и собственных форм колебаний
DA2u — к2 ри = 0, (2)
(случай пластины с постоянными упругими свойствами)

DA2u + 2VD УД и + ADAu+
--(2Bxy%ixy BxxUyy ByyUxx) ' к ри 0, (3)
(случай пластины с переменными упругими свойствами).
Для обоих случаев на границе пластины dkl ставится условие жесткого закрепления: для любого момента времени t

= о.

(п - нормаль к 90).
С математической точки зрения речь идет о нахождении собственных чисел и собственных элементов линейных самосопряженных (точнее, в существенном самосопряженных) операторов в гильбертовом пространстве. Нетрудно показать, что если поверхностная плотность пластины отделена от О,
р(х,у) > 8 > 0,

Таким образом, для заданного падающего решения, сосредоточенного вблизи стороны 1к экстремального цикла нам удалось найти ’’мнимое” отраженное решение, сосредоточенное вблизи точки отражения, и начальные данные для уравнений, задающих ’’вещественное” отраженное решение, сосредоточенное вблизи стороны 1к+1. При этом мы предполагали, что 1 < к < N или N - четное. В случае нечетного к = N в формулы (1.25),(1.32),(1.33) необходимо внести изменения:
тГ+1(хы) = (-1)'т/(а:Лг) + аш, (1.25')
где I = 3,4
и£+1хм) = (-1)яе*”и{£Р(хму, (1.32')
иГ1]Ы) = (-1 У+,еихм) + (1.33')
где I — 2,3,
Ниже мы будем рассматривать многократные обходы цикла. Для произвольного к = тИ + ко, где 1 < к0 < т целое, начальные условия в точке Хк будут, как мы увидим, такими же, как и в точке Хк0, за исключением того, что в формуле (1.33) вместо <Щ0 будут фигурировать 4г°) е'пт
§4 Условия устойчивости экстремального цикла по первому приближению
В этом параграфе приводятся известные результаты (см. [3]), касающиеся устойчивости экстремального цикла по первому приближению. (Как известно, устойчивость экстремального цикла по первому приближению означает, что любой достаточно близкий к экстремальному циклу луч первого приближения останется близким к нему после любого числа отражений.)
Как и в классическом случае уравнения Гельмгольца, дальнейшие построения оказываются возможными только для устойчивого по первому приближению экстремального цикла, хотя для существования формального решения уравнения (1.2), сосредоточенного в окрестности луча, устойчивость по первому приближению не требуется.
Пусть в окрестности стороны 1к экстремального цикла имеется луч первого приближения Е, заданный уравнением
у{Щ = у(к){х),