Задачи с граничными условиями второго рода для уравнений смешанного типа

• Автор: Шустрова, Наталья Вячеславовна
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2006
• Место защиты: Стерлитамак
• Количество страниц: 100 с.

Глава 1. Задача Моравец для уравнения Лаврентьева-Бицадзе §1.1. Постановка обобщенной задачи Моравец и редукция к обобщенной
задаче Трикоми
§1.2. Единственность и существование решения задачи Моравец
§1.3. Единственность решения обобщенной задачи Моравец
Глава 2. Задача Моравец для уравнения Лаврентьева-Бицадзе с комплексным параметром
§2.1. Постановка спектральной задачи Моравец
§2.2. Построение частных решений уравнения Лаврентьева-Бицадзе с параметром
§2.3. Построение системы собственных функций и исследование их на полноту
§2.4. Построение решения задачи Моравец для уравнений с оператором
Лаврентьева-Бицадзе
§2.5. Пространственный аналог задачи Моравец
§2.6. Построение решения задачи Моравец для уравнения с оператором
Лаврентьева-Бицадзе в усложненной области
§2.7. Обобщенная задача Моравец для уравнения Лаврентьева-Бицадзе
с параметром
§2.8. Обобщенная задача Моравец для уравнения Лаврентьева-Бицадзе
с параметром в усложненной области
Глава 3. Задачи с краевыми условиями второго
рода на части границы для уравнения Лаврентьева-Бицадзе с комплексным параметром
§3.1. Построение решения обобщенной задачи Трикоми-Неймана
§3.2. Обобщенная смешанная задача
§3.3. Обобщенная задача Трикоми-Неймана в усложненной области
§3.4. Аналоги обобщенной смешанной задачи в усложненной области
§3.5. Построение решения задачи ТА для уравнения Лаврентьева-Бицадзе
с параметром в эллиптических координатах
Литература

Исследования различного рода физических процессов тесно связаны с развитием теории краевых задач для уравнений смешанного типа.
Основоположниками этой теории являются Ф.Трикоми и С.Геллерстедт. Дальнейшими исследованиями в этой области занимались Ф.И.Франкль,
A.В.Бицадзе, К.И.Бабенко, В.Ф.Волкодавов, В.Н.Врагов, Т.Д.Джураев,
B.Н.Диденко, В.А.Елеев, В.И.Жегалов, А.Н.Зарубин, Т.Ш.Кальменов, Г.Д.Каратопраклиев, А.И.Кожанов, Ю.М.Крикунов, А.Г.Кузьмин,
О.А.Ладыженская, В.П.Михайлов, Е.И.Моисеев, А.М.Нахушев,
C.М.Пономарёв, С.П.Пулькин, Л.С.Пулькина, О.А.Репин, К.Б.Сабитов, М.С.Салахитдинов, М.М.Смирнов, А.П.Солдатов, Р.С.Хайруллин, Хе Кан Чер, Л.И.Чибрикова, S.Agmon, L.Nirenberg, M.Protter, C.S.Morawetz, P.Germain, R.Baber, P.Lax, R.Phillips, M.Schneider и многие другие.
К основным краевым задачам для дифференциальных уравнений смешанного типа относятся задачи Трикоми, Геллерстедта, Трикоми-Неймана, Моравец и их обобщения (с отходом от характеристики). Ф.Трикоми [48] для уравнения
У^хх Т 'Uyy — О (^Т)
в области D, ограниченной гладкой кривой Г, лежащей в полуплоскости у > О с концами в точках А и В оси у — 0, а при у < 0 — характеристиками АС и ВС уравнения (0.1), выходящими из этих точек и пересекающимися в точке С, исследовал задачу с граничными данными первого рода на Г U АС. Существование и единственность решения этой задачи доказано при некоторых ограничениях на кривую Г.
Геллерстедт [58] решает задачу Трикоми для уравнения
утихх + иуу - си = F(x, у), (0.2)
где т > 0 и т = 0(mod2), с = const > 0, но достаточно малая, F(x,y)~ заданная функция.
В другой работе Геллерстедта [57] для уравнения
У иXX Ф Ууу = 0, (0-3)
где т — натуральное нечетное число, в области D, ограниченной простой
кривой Жордана Г, лежащей в полуплоскости у > Ос концами в точках А^ацО) и ^2(023 0), а при у < 0 — характеристиками АС, СЕ, ЕС2, С2А2 уравнения (0.3), где Е(е, 0), а < е < 02, исследованы задачи с граничными данными первого рода на Г и АС и А2С2 (задача бц) и на Г и СЕ и ЕС2 (задача Сг). Существование этих задач доказано методом интегральных уравнений в случае, когда Г совпадает с "нормальной" кривой Го :
12 + г4ч2»”,+2 =!. V > 0.
(т + 2щ
В работе [50] Ф.И.Франкль исследовал задачу Трикоми для уравнения Чаплыгина
К{у)ихх + иуу = 0, А'(О) = 0, К'(у) > 0. (0.4)
Единственность решения задачи Трикоми для уравнения Чаплыгина была доказана им при условии, что функция
Е(у) = 2{К/К’)1 + 1 < 0 при у < 0. (0.5)
Для уравнения М.А.Лаврентьева
ихх + вдпу -иуу = 0 (0.6)
задачи Трикоми, Сц и задача, в которой задано на Г, подробно изучены
А.В.Бицадзе [5-9]. В работе [8] единственность решения задачи Геллерстедта
доказана на основании принципа экстремума при произвольной кривой Г, но при некоторых ограничениях на поведение производных их и иу в малой окрестности точки Е.
Применяя метод ”а6с”, Проттер [62, 63] доказал теорему единственности решения задачи Т для уравнения (0.4) в случае, когда К (у) имеет непрерывную производную третьего порядка, которая в полуплоскости у < 0 удовлетворяет условию К"1 < 0 всякий раз, когда Е’(у) < 0 при у < 0.
К.И.Бабенко [1] доказал единственность и существование обобщенного решения задачи Трикоми для уравнения Чаплыгина, когда dxjdy| < Су2(з) в окрестности точек А и В на кривой Г, где С—положительная постоянная.
С.П.Пулькин [29] доказал единственность и существование обобщенного решения задачи Трикоми для уравнения

, . _I
/ £ _|_ y 2 4
^nm (Т i Ф) — (~'nm yj kn ( v^nmT ),(*,») eGy (2.74)
Пусть теперь Л V Anm. Тогда, аналогично §2.3, будем удовлетворять краевому условию (2.4) функцию
v(r, <р) = С о J0 (VA г) + V2CnJn_L(Vr)sin ( (п - ^ <р +
п=1 ' '
Таким образом, получим систему собственных функций задачи М, соответствующую значениям А V Хпт, которая имеет вид:
U(x,y) = C'oJo(VAr)+
+ tf~irSiSm ( (" " 8 ^ + ? (2.75)
их{х,у) = C0J0(^(x2-y2))+
А fnJn-i(/X(x2 - у2)) /х + у И
+ S V2ATl(VÄ) (2'76)
«дЦ,!/) = Со/о(ЩЦ2-»2))+
» - у2)) (_ „N »4
+ Е ТГтГГТП Пг! ,(*.») 6 где коэффициенты этого разложения вычислим по формуле, приведенной в работе [20], учитывая, что в нашем случае /(
к = [ 1{<р)Ьп{(р)<Ьр, (2.78)
2 (гсоя^'Г1 п К = Ц— V {зткф) Вп„к) (2.79)
* МУ «
^ _ Л ^1-т^т/ -^у-т ^п ^ ~ 1)---(^ ~ Н, Т 1)
(7од/АЛ(л/Л) ГГ Щ _ |)ГД- |)
/» = Щв-‘фН) щ щуу ■
&—1 т=1
Сходимость ряда (2.75) доказывается на основании оценок, полученных при решении задачи Моравец в обычной области в §2.4.