Асимптотическое интегрирование одного класса сингулярно возмущенных линейных краевых задач

• Автор: Бобохонов, Кулихон
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2003
• Место защиты: Худжанд
• Количество страниц: 105 с.

Глава 1. Равномерная ограниченность и существование решений сингулярно возмущенной краевой задачи

§ 1. Подпространства Е_(А),Е0(А),Е+(А)

§ 2. Равномерная ограниченность решений

§ 3. Существование решения

§ 4. Функция Грина краевой задачи

Глава 2. Асимптотическое интегрирование

§ 5. Линейная краевая задача с диагнолизуемой обратимой

матрицей

§ 6. Линейная краевая задача с диагнолизуемой необратимой

матрицей

§ 7. Асимптотика функции Грина ; случай диагонализуемой

обратимой матрицы
§ 8. Асимптотика функции Грина: случай диагонализуемой
необратимой матрицы
§ 9. Построения асимптотики функции Грина сингулярно возмущенного скалярного обыкновенного дифференциального уравнения второго порядка
Литература

Диссертационная работа посвящена исследованию задачи об асимптотическом интегрировании одного класса сингулярно возмущённых линейных краевых задач вида
(1) Ь £(А)х = £ — - Л(?)х = М0> 0<Л<1 ,хеСп, £>О,

(2) Р0 х(0) = х0, Р] х(1) = .
Исследование сингулярно возмущённых дифференциальных уравнений начинается с работ Лиувилля [39], Хорна [60], Прандтла [54], Шлезингера [61], Биркгофа [2],. Эти работы положили начало появлению теории сингулярно возмущённых дифференциальных уравнений. Дальнейшее развитие теории сингулярно возмущённых дифференциальных уравнений связано с фундаментальными работами А. Н. Тихонова [59], В. Вазова [9], М. Лайтхилла [38], Н. Н. Боголюбова [1], Ю. А. Митропольского [48, 49],
A.Б. Васильевой [12-14], М. И. Вишика и Люстерника [15-18], В. Ф. Бутузова [5-7], М. И. Иманалиева [26-28], С. А. Ломова [40-45], В. П. Маслова [46, 47]. В настоящее время разработаны различные методы асимптотического интегрирования линейных и нелинейных сингулярно возмущённых дифференциальных уравнений.
Общие вопросы теории сингулярно возмущенных задач и обзор современного состояния этой теории приведены в статье [45], где излагается метод регуляризации Ломова, развитый на основе уточнения понятия асимптотического ряда и являющийся основой теории асимптотического интегрирования широкого класса сингулярно возмущенных задач. Метод регуляризации Ломова является одним из вариантов развития метода Вишика-Люстерника, «объединенный с двумя новыми идеями: 1)с идеей перехода в пространство большого числа переменных, позволяющей описать аргументы существенно особых сингулярностей; 2)с идеей использования спектральной теории переменных операторов, позволяющей точно описать сингулярную зависимость решения от малого параметра» [45].
В дальнейшем метод регуляризации Ломова применительно к различным сингулярно возмущённым задачам развит в работах С. А. Ломова [40-45],
B. И. Прохоренко [55], В. Ф. Сафонова [56, 57], А. Г. Елисеева [21-25], М. А. Валиева [10, 11], М. П. Мягковой [53], А. А. Коняева [32, 33],
В. А. Стрижкова [58], А. А. Бободжанова [3, 4], В. И. Качалова [31]. Наиболее полное изложение метода приведено в монографии Ломова С. А. [43].
В настоящей диссертационной работе исследованы условия, обеспечивающие возможность применения метода регуляризации Ломова для асимптотического интегрирования краевых задач вида (1 )-(2) и нахождения асимптотики функции Грина этих задач.
Вопросы нахождения асимптотики решений сингулярно возмущённых краевых задач исследованы в работах С. А. Ломова [40-45], Н. А. Ивановой [29], А. А. Кбняева [32 ,33]. В монографии С. А. Ломова [43] рассматривая систему (1) с'краевыми условиями вида:
(3) Рх(0)+С>х(7)=хо ■
в условиях так называемого стабильного спектра матрицы-функции А(4) путём замены переменных и выделения основных диагональных слагаемых в преобразованной системе находится асимптотика функции Грина данной краевой задачи в следующем виде:
й(х, $,£)

г'>йг>'
уГ22Л12|
'Гплги
чЛ.лЛ,
Д(цд,б)

Л(Г'3'.£')
Г22Л-^22 ; ГгАГп Г.2 ,ЛГ12У
- |Л0Л £0
— |Ло<А
0<5<Х<1
Л(1 = (Иа%Л Як (г,6')}
Г(г,г)
В(х) = (Ь, (/) *„(?))
'Ги(/,е) Г [2 (/,£■)'
КГ2] (?,£■) Г22(о Г(г, е) = б(/) + А(/, е),
%(?) В12М Л{‘) в27(1))
Ви(1) - блок размера к х к В12{{) - блок размера(п-к)*(п-к)
Но, задача нахождения асимптотического ряда функции Грина краевой задачи непосредственным применением метода регуляризации Ломова не была изучена. По этому в середине 80-х годов профессором С. А. Ломовым автору было предложено исследовать условия, обеспечивающие возможность применения метода регуляризации Ломова для нахождения асимптотики функции Грина какого - нибудь класса краевых задач.
В методе регуляризации Ломова разработан общий подход для нахождения асимптотики решений широкого класса сингулярно возмущённых задач. Возможность применения данного метода обусловлена решением следующих трёх взаимосвязанных задач:

и = ±u„(tM)e'-ИШ-U')Y ■
Ы l*J
(П.3) ■ (/-;«+ +
где U • 9 ) - произвольные функции
Разрешимость задачи (5.8о). Функция h(t) удовлетворяет условию (1.4), поэтому уравнение
Tz0 = h, h(t) = t (MA Ь (фг (/)

разрешимо на U и его множество решений согласно (1.5) представимо в виде
(5.1 о0) д0 = £д® (ф, (/>17 я;1 (/)to(0К (4
/=1 г
ГДС ZM (4-•»<(/) -произвольные функции.
Для функции Z0 краевые условия задачи (5.80) принимают следующий вид
£ zj (0)Д4, (о)=дг0 + £ я;' (оХ*(о),*; (о)>>л (о),
Ы , г=
£ 2; (]>;», (i)=*, +£л;'(Ф(1)А*(1)>Я(1}
/=/7+1 Г
В силу X0eP0C",Xt Е PtC" и замечания 5 существует единственный набор z,°, (0) г; (о), (l) г’(l) чисел удовлетворяющий условиям
(5.11о).
Таким образом , задача (5.8о)на множестве U разрешима и её множество решений представимо в виде (5.10(| ) , где - Z° Z°n(0~
любые функции определенные на отрезке [ОД] и удовлетворяющие условиям (5. По).
(5 11.)