Асимптотическое поведение решений одной системы двух дифференциальных уравнений

• Автор: Иванова, Мария Анатольевна
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2005
• Место защиты: Якутск
• Количество страниц: 103 с. : ил.

„ ОГЛАВЛЕНИЕ

ГЛАВА 1. МЕТОДЫ ПОСТРОЕНИЯ ОБЛАСТЕЙ ПРИТЯЖЕНИЯ

§ 1. Устойчивость в целом

§ 2. Методы построения областей притяжения

^ ГЛАВА 2. УСТОЙЧИВОСТЬ В ЦЕЛОМ НУЛЕВОГО

РЕШЕНИЯ АВТОНОМНОЙ СИСТЕМЫ

ВТОРОГО ПОРЯДКА

§3. Неположительность обеих слагаемых к(у) < 0, 1ц(х) <0

§4. Положительность первого слагаемого /^(у)

§ 5. Положительность второго слагаемого /ц(т)

ГЛАВА 3. ПОСТРОЕНИЕ ОБЛАСТИ ПРИТЯЖЕНИЯ ДЛЯ СИСТЕМЫ АВТОМАТИЧЕСКОГО

* РЕГУЛИРОВАНИЯ
§ 6. Постановка задачи
§7. Построение области притяжения в первом случае
§8. Построение области притяжения во втором случае
§9. Общий случай
Заключение
Литература

Диссертация посвящена исследованию асимптотического поведения решении одной системы из двух дифференциальных уравнений
щ = hi{y)x + h2(x)y = Р(х,у), ^ = fz(x) + 1ц(х)у. (1)
Всюду в работе предполагается, что функции, входящие в правую часть системы (1), непрерывны при всех значениях своих аргументов, /3(0) = 0, h2(x) > 0 при всех х, и выполнены обобщенные условия Рауза-Гурвица:
h (у) + h4(x) < 0, hi{y)hA(x) - h2(x)h3{x) > 0. ху ф 0, (2)
где //3(.с) = х ф о.
Актуальность. В диссертационной работе рассматриваются вопросы устойчивости движения.
Проблемы устойчивости возникли впервые в механике при изучении состояния равновесия. Основы теории устойчивости движения разработаны в конце XIX века А.М.Ляпуновым [67]. Впоследствии теория развивалась в трудах Е.А.Барбашнна [6]-[12], И.Г.Малкнна,
Н.Г.Четаева и других.
Теория устойчивости движения занимается исследованием влияния возмущающих факторов на движение материальной системы. Под такими факторами понимаются силы, не учитываемые при описании движения, вследствие их малости, по сравнению с основными силами. Они обычно малы и действуют мгновенно, что сводится к малому изменению начального состояния системы, т.е. начальных координат движении!-п скоростей, называемых начальными возмущениями движений.
Для практики важно не только выяснить, является ли движение асимптотически устойчивым, но и определить область дополнительных начальных возмущений. Этим вопросом Ляпунов не занимался, но разработанные им методы дают возможность решать и эту задачу. Начиная с 50-х годов XX века, большое число работ было связано с оценкой области возмущения. Такие задачи рассматривались, например, в работах
Н.П.Еругина [30]-[37], И.Г.Малкина [68], В.А.Плнсса [86] и других авторов.
В связи с новыми задачами об устойчивости нелинейных систем автоматического регулирования и в связи с проблемами стабилизации управляемых движений с 50-х годов прошлого века возрос интерес к реальным системам, в которых начальные возмущения могут оказаться большими, и их трудно или нецелесообразно заранее оценивать. Поэтому было введено определение асимптотической устойчивости в целом движений при любых начальных возмущениях. Эту устойчивость иногда (чаще в зарубежной литературе) называют глобальной устойчивостью.
Современные методы исследования вопроса устойчивости в целом нулевого решения нелинейной системы второго порядка, основой которых является метод Ляпунова, были разработаны в работах Н.П.Еру-гина [30]-[37], И.Г.Малкина [68], Н.Н.Красовского [54]-[57], Ю.Н.Бибикова [14], И.Г.Егорова [29], В.К.Поливенко [87] и других.
С помощью функций Ляпунова можно оценить область притяжения, т.е. многообразия всех начальных возмущений, не выходящих с течением времени за пределы заданной области. Построение этой области
Допустим, что существует положительная полутраекторпя /+{р. t) системы (4), уходящая при Ь —> +оо в бесконечность. Она может уходить в бесконечность также в виде спирали, раскручивающейся по часовой стрелке. Поэтому /+(р,£) пересекает положительную полуось ординат бесконечное число раз.
Пусть Рі(0,?/і), /12(0,1/2) ~ Две последовательные по времени точки пересечения этой полуоси полутраекторпей /+(р,Ь). Допустим, что 1/2 > у. Вычислим криволинейный интеграл
I = Р(х, у)йу - <Э(х, у)(1х, (42)
где I - замкнутый контур ррпргРъ образованный витком ртр-2 положительной полутраекторнп /+(р, £) и отрезком рхрх осп ординат, п проходимый против часовой стрелки. Так как

Р{хі У)йу - <3(х,у)с1х
Р1ІЇЇР2
II У2 > 1/1, ТО

= I Р(0,у)йу = I /12(0)у(/у = !-^(у1 ~ уЬ > о. (43)
У1 2/1
С другой стороны, в силу (29) функция (37) убывает по х при любом фиксированном у М. Это означает, что почти везде
ш'“
Тогда, используя (44) и формулу Грина [30], определим знак интеграла (42):
= £ Р(:Г, у)(1у - (^{Х, у)(ІХ = Ц (1ХР{Х, у) Уу + йуд{х, у) (ІХ

I Г