Вероятностный критерий многогранности метрики двумерного многообразия ограниченной кривизны

• Автор: Климентов, Дмитрий Сергеевич
• Шифр специальности: 01.01.02, 01.01.04
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2002
• Место защиты: Ростов-на-Дону
• Количество страниц: 82 с.

Оглавление
Введение

1 Вспомогательные сведения

1.1 Определение двумерного многообразия ограниченной кривизны

1.2 Необходимые сведения из теории многогранников . .

1.3 Необходимые сведения из теории случайных процессов

1.4 Необходимые сведения из теории форм Дирихле .

1.5 Необходимые сведения из теории распределений .

1.6 Обобщнные однородные функции.

2 Построение генератора

2.1 Построение специального атласа на многообразии Т .

2.2 Запись формы Дирихле в локальных координатах и построение генератора диффузии .
2.2.1 Формулировка результата.
2.2.2 Вспомогательные результаты
2.2.3 Доказательство теоремы 2.2.1
ОГЛАВЛЕНИЕ
2.2.4 Доказательство теоремы 2.2.2
3 Вероятностный критерий
3.1 Обозначения, используемые в этой главе .
3.2 Формулировка результатов
3.3 Вспомогательные результаты
3.4 Доказательство теоремы 3.2.1
Литература


Необходимые сведения из теории многогранников . Необходимые сведения из теории форм Дирихле . Необходимые сведения из теории распределений . Обобщённые однородные функции. Построение специального атласа на многообразии Т . Запись формы Дирихле в локальных координатах и построение генератора диффузии . Формулировка результата. Доказательство теоремы 2. Доказательство теоремы 2. Обозначения, используемые в этой главе . Доказательство теоремы 3. В последнее десятилетие достигнуты определённые успехи в изучении случайных процессов на гладких рнмановых многообразиях и более общих метрических пространствах, см. Основными вопросами в этой области являются построение диффузионных процессов на рассматриваемых пространствах, а в случае гладких рнмановых многообразий также характеризация их геометрических свойств через вероятностные свойства диффузионного процесса. В настоящее время широко распространены три основных способа конструирования диффузионного процесса. Первый способ основан на связи теории случайных процессов с теорией дифференциальных уравнений в частных производных и восходит к классической работе А. Н. Колмогорова []. Второй метод был развит К. Пто в [] и усовершенствован П. Мал-ливэном в []. Этот способ базируется на стохастическом дифференциальном исчислении и диффузионный процесс строится с помощью аппарата стохастических дифференциальных уравнений. Стохастическое исчисление позволяет легко обобщать результаты на пространства высокой размерности. Применение обоих вышеприведённых методов в чистом виде ограничивается, к сожалению, гладкими многообразиями. Третий способ построения диффузионного процесса — с помощью форм Дирихле. Подробное изложение основ этого способа можно найти в []. В случае гладкого риманова многообразия М каноническая форма Дирихле ? Применение метода форм Дирихле позволяет, в случае явного вычисление генератора диффузионного процесса, использовать н первые два способа изучения диффузии: вопрос о существовании решения дифференциального уравнения (1) решается исходя из общих теорем о формах Дирихле, а более тонкое исследование свойств диффузии проводится методами теории дифференциальных уравнений. В работах [] - [] немецкого математика К. Т. Штурма метод форм Дирихле был распространён на достаточно широкий класс метрических пространств с мерой. Штурм требовал, чтобы метрика пространства была внутренней (см.