Асимптотические разложения решений сингулярно возмущенных задач оптимального управления

• Автор: Парышева, Юлия Владимировна
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2012
• Место защиты: Екатеринбург
• Количество страниц: 145 с.

Оглавление
Введение

Глава 1. Определяющие соотношения для решения задачи

1.1. Постановка задачи

1.2. Основное уравнение

1.3. Асимптотика матричной экспоненты

Глава 2. Построение асимптотики членов основного уравнения

2.1. Асимптотика внеинтегральных членов и вспомогательные

утверждения

2.2. Асимптотика подынтегральной функции

2.3. Асимптотика интеграла А(е, ?у,/г)

2.4. Асимптотика интеграла 1%(£, ге, ц)
2.4.1. Асимптотика интеграла (е, г£, /г) в регулярном случае
2.4.2. Асимптотика интеграла 1%(в, г£, /г) в сингулярном случае
2.5. Асимптотика интеграла 1(е, ге) и функции (//£(Г, ,т°, у0)) (ге)
Глава 3. Построение и обоснование асимптотики решения основного уравнения
3.1. Вспомогательные утверждения
3.2. Разрешимость уравнения и оценка для решения
3.3. Полная асимптотика решения уравнения в регулярном и
сингулярном случаях
3.4. Пример
Литература

Введение
Основы классической теории оптимального управления были заложены в 1955-1970 годах в работах Л.С. Понтрягина, H.H. Красовского, В.Г. Болтянского, Р.В. Гамкрелидзе, Р. Веллмана ([4], [20], [60|, [53], [2], [G1], |54|, |3]). Были установлены условия оптимальности управления и описана структура оптимального управления.
Вопросы практического применения полученных результатов привели к появлению различных направлений в рамках теории оптимального управления, одним из которых является изучение малых возмущений в задачах оптимального управления.
Наличие малых возмущений в задачах оптимального управления может быть связано как с малостью тех или иных компонент в математической модели, описывающей динамику процессов (малые постоянные времени, моменты инерции, массы и др.), так и с методами исследования задач управления (параметры штрафа, регуляризации, аппроксимации импульсов и др.).
При этом часто возникают задачи оптимального управления с сингулярными возмущениями, в которых свойства возмущенных задач качественно отличаются от свойств вырожденных задач, получающихся из исходных при нулевых значениях параметров.
Из условий оптимальности управления для сингулярно возмущенных задач как правило появляются “жесткие” краевые задачи, при численном решении которых возникают серьезные трудности, выражающиеся в недопустимо большом времени счета и неизбежном накоплении вычислительных ошибок. В связи с этим в данном классе задач возрастает роль асимптотических методов, которые дают возможность получить качественную картину решения, что может быть использовано в том числе и при построении и анализе численных алгоритмов решения таких задач.
В различной постановке сингулярно возмущенные задачи оптимального
управления рассматриваются в работах многих авторов (см. обзоры [37], [78], [79], [80], ]16], [83], [74], [571, [76,77], (191, [38], [48], [70], [71], [81,82], [G8], [85], [84], [GG], [8G-88], [82]).
Одним из классов сингулярно возмущенных задам управления являются задачи оптимального управления для систем, динамика которых описывается дифференциальными уравнениями с малым параметром при производных (уравнения с быстрыми и медленными переменными).
Особенностью таких уравнений является то, что порядок вырожденного уравнения ниже порядка исходного возмущенного уравнения. Вследствие этого решение вырожденного уравнения не может удовлетворить всем условиям, заданным для первоначального уравнения. В малой окрестности задания начальных условий, теряющихся при вырождении, происходит быстрое изменение решений от начальных условий, заданных для возмущенной задачи, до значений, близких к решению вырожденной задачи.
Общепризнанным методом описания асимптотики решений начальных и краевых задач для дифференциальных уравнений с малым параметром при производных является метод пограничных функций (А.Б. Васильева |9-15|, В.Ф. Бутузов [8,9,14,15], JI.A. Люстерник 118], М.И. Вишик [18]).
Теория экспоненциально убывающих функций пограничных слоев широко применяется для исследования задач управления с быстрыми и медленными переменными ( [1], [16], [21], [22], |33, 34, 36], [52], [55], [73| и ДР-)
В большинстве работ метод пограничных функций используется для построения асимптотических разложений решений систем краевой задачи принципа максимума Л.С. Понтрягина. (см., например, |1G|, [83], [351, [81]). Другое применение метода пограничных функций к задачам оптимального управления основано на непосредственной подстановке в условия задачи постулируемого асимптотического разложения в виде ряда с пограничными функциями и определении серии задач оптимального управления для

Для матрицы Ye(t), определяемой соотношением (1.26), получаем:

Уе(£) -е-'П.іУ(г) + (W)+ ЩУ(т)), t Є [О,Т], (1.48)

П_хУ(г) := U0Z22(t)B2,
а для кО
ПМ= +
ЩУ(т) := Пьг21(г)Ві + n1+1Z22(r
При t Є [ц, Т) пограничные функции ЩУ(т) экспоненциально убывают при є —> +0 и равномерно в этой области

ye(t) ~ JVn(t), ІЄЦ,Т].

При t Є [0,/і], переходя в (1.48) к переменной т, получаем

Yc(t) = Уе(єт) ~ є-'П-іУИ + (У*(єт) + П*У(т)), єт = t Є [0, yu]

Ує(£) = УДет) ~ £fc5fcy(r), £T = te [0,/г],

5_іУ(т) := П_хУ(т) - П0£22(т)£2,
а для к О
ЯЛ(т) := Рки(т) + WW := 0.(0) + ОД1(0)т + 1[/Д2(0)т2 + ... + 4‘>(0)г*.
Отметим также, что все коэффициенты Uk{t), Yk(t) и SkU(r), SkY(r) бесконечно дифференцируемы на і Є [0,7і] и, соответственно, т 5= 0.