Асимптотические решения задач Дирихле для интегро-дифференциальных уравнений с малым параметром при старших производных

• Автор: Каландаришвили, Давид Георгиевич
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 1983
• Место защиты: Тбилиси
• Количество страниц: 86 c. : ил

СО ДЕ ЕКАНИЕ
ГЛАВА. I. ЗАДАЧА С МАЛЫМ ПАРАМЕТРОМ ДЛЯ ИНТЕГРО-ДИФ-ФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ. РЕГУЛЯРНЫЙ'СЛУЧАЙ § I. Дифференциальные уравнения эллиптического
типа с малым параметром в главной части
§ 2. Первая краевая задача для интегро-дифференциальных уравнений с малым параметром
§ 3. Первая краевая задача для интегро-дифференциальных уравнений с операторами Лапласа
Глава II. ЗАДАЧА С МАЛЫМ ПАРАМЕТРОМ ДЛЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ ИНТЕГРО-ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ В НЕРЕГУЛЯРНОМ СЛУЧАЕ § I. Задача для однородного интегро-дифференциалъного уравнения
§ 2. Неоднородное интегро-дифференциальное уравнение с малым параметром
§ 3. Краевая задача для интегро-дифференциального
уравнения с оператором Лапласа
ЛИТЕРАТУРА

Многие практические задачи прикладной математики, физики и техники не поддаются исследованию известными классическими методами в смысле получения их точных решений. Поэтому возникает необходимость применения различных методов приближенного построения решений этих задач, которые разрабатываются по двум основным направлениям: развитие численных методов решения и развитие, так называемых, асимптотических методов решения. Среди асимптотических методов краевых задач с малым параметром при старших производных одно из центральных мест занимает метод асимптотических разложений по малым значениям параметра. Основная идея этого метода заключается в редукции рассматриваемой задачи к двум более простым, уже изученным задачам, с помощью решений которых строится асимптотическое представление искомого решения.
Идея упомянутого метода и ее реализация восходят к ранним работам А.Пуанкаре[1] , И.Горна[2,з], Л.Прандтля[4], Дж.Бирк-гофа|*5], П.Нуайона[б], Я.Д.Тамаркина[т]и др. Однако систематические исследования уравнений с малым параметром начались с 30-х годов нашего столетия. Многие из них изложены в обзорной статье К .Фридрихеа [в]
Исследование краевых задач для нелинейных систем обыкновенных дифференциальных уравнений с малым параметром были проведены в работах А.Н.Тихонова[9-11] . Один из общих результатов А.Н.Тихонова в указанном направлении изложен в работе [II], в которой рассматривается нелинейная система обыкновенных дифференциальных уравнений

с начальными условиями
Ч.„=г'' ' (0-2)
где 2 и ^ искомые векторы, -малый параметр
носительно правых частей системы (0.1) установлены достаточные условия, гарантирующие сходимость при р-*о решения
рассматриваемой задачи (0.1-2) к решению вырожденной системы, которая получается из системы (0.1) при нулевом значении параметра у . Эти результаты нашли дальнейшее развитие в работах А.Б.Васильевой[12,1з], в которых установлена асимптотика решения исходной задачи относительно малого параметра р . Обширная библиография по этим и связанным с ними вопросами приведена в обзорных статьях [хд - 18].
Упомянутые выше результаты А.Н.Тихонова сыграли определяющую роль для многочисленных последующих исследований в данном направлении. В работах 0. А .Олейник [19,20] , М.И.Вишика и Л.А.Люстерника 121-28] дан асимптотический метод решения краевых задач о малых возмущениях, в этих работах,в основном , рассмотрены краевые задачи для уравнений в частных производных эллиптического типа с малым параметром при старших производных, когда вырождение по малому параметру носит регулярный характер. Этот метод можно проиллюстрировать следующим образом: в конечной области евклидова пространства 2) рассматриваются дифференциальные операторы Ь1к ^ порядка 2.к + ^ соответственно. При этом операторы
и эллиптичны. Для уравнения

^n-(3c>^£)=:^(^3')-cl^(2^)e^p{-^|J+(3n.+i)(£^J. (4.1?) Суммируя (4.17), можно получить
^(х^Де)=£)(»,ÿ,)0-2Xz,^)e*pb|}f0(£)j (4Л8)
так как, ряд

£ ôî ^3ri+iKe^+1)
rt=o
сходится. Действительно, учитывая оценку Адамара для детерминанта (ru+l)-ro порядка
l(£OKerW)
и, полагая
кЛ M.+I ÛÜ:
7[Т £ С (Зи.+1) (n_+i) }
будем иметь
Чг L п±1
}Км _ 1X1 С (Зп.+^(п42) -IV If 3w+^t Knf (lT-b2)Z ,
Il к (rL-t-i) (3 n, +i) ( A +i)~ 3|v+A (n.+i) (k+1)~
I I r> 3rv Jn+21 f , i z
-|X'Ci^T’
откуда
7f±1=|AlC#'fc-!
(v-»oo U-n, tv-»« n,fj_