Стабилизация решений первой смешанной задачи для параболических уравнений и систем с младшими членами

• Автор: Кожевникова, Лариса Михайловна
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2000
• Место защиты: Стерлитамак
• Количество страниц: 123 с.

Оглавление
Введение
1. Существование и единственность решения, его свойства
в случае неограниченной области
1.1. Решения с начальной вектор-функцией из Ь-2(П)
1.1.1. Существование решения для квазилинейной системы
1.1.2. Существование производных решения для слабо нелинейной системы
1.1.3. Единственность решения и энергетическое неравенство
1.2. Решение с начальной вектор-функцией из 1:2(0) П Ьоо(П)
1.2.1. Существование ограниченного решения
1.2.2. Принцип максимума и единственность ограниченного решения
1.3. Решения с локально суммируемой начальной вектор-
функцией
1.3.1. Класс единственности
1.3.2. Существование решения с растущей начальной вектор-функций
2. Оценки сверху

2.1. Оценка Ьг-нормы решения во внешности шара и скорость стабилизации ее при t —> со
2.2. Оценка Ьг-нормы производных и равномерная оценка решения
2.3. Равномерная оценка ограниченного решения
3. Оценки снизу
3.1. Оценка Ь-2-нормы для линейного автономного уравнения
3.2. Равномерная оценка для линейного уравнения
3.3. Точные оценки в случае полулинейной системы параболических уравнений
Библиографический список

Введение
Диссертация посвящена изучению стабилизации решений первой смешанной задачи для параболических уравнений и систем второго порядка с младшими членами в цилиндрической области D = {t > 0} х П, где О — произвольная неограниченная область пространства Rn, п >
2. Рассматривается зависимость поведения решения этой задачи при больших значениях времени t от неограниченной по пространственным переменным области 12, лежащей в основании цилиндра.
Исследованию поведения при больших значениях времени решений задачи Коши и смешанных задач с однородными граничными условиями для параболических уравнений и систем посвящено большое число работ. Основная часть их касается скалярного уравнения
щ = div (A(t, x)Vu) . (0.1)
Здесь Л({. х) — симметрическая матрица размера п х п, ее элементами являются измеримые функции a,ij(t,x), i,j = 1, гг, удовлетворяющие условию

оЫ2 < Y, aij(t,x)yiyj < с2у2, с2 > 1, (0.2)

для любого вектора у = (уиУ2> , Уп) £ й« и почти всех (t, х) 6 D.
В работах [11], [35] было отмечено, что даже в случае уравнения
(0.1) изучение зависимости поведения решения от совокупности ’’переменных” — неограниченной области 12, коэффициентов уравнения и начальной функции <р — является непростой задачей. Поэтому в литературе выделяются две задачи, в которых стабилизация решения зави-

Доказательство проводится практически также, как это сделано в [24, гл. III, §4, теорема 4.1].
Замечание 1.1. В дальнейшем, чтобы избежать громоздкости в рассуждениях, вместо утверждения типа ”из последовательности иА можно выделить подпоследовательность иА‘, сходящуюся в Ь2(ИГ) при г —» оо”, будем говорить просто ’’последовательность иА выборочно сходится в Ь2(ЛГ) при К —* оо”. Соответственно будем использовать термин ’’выборочно слабо сходится” и т.п.
Рассмотрим нормальную систему обыкновенных дифференциальных уравнений
Ниже сформулируем для нее теорему существования при несколько
меньших требованиях, чем те, которые обычно накладываются
краткости введем обозначения: с = (щ,С2,. -.,сх), |с| = шах |с*|. Тогда
к=1,К
эту систему уравнений можно записать в виде:
Вектор-функция Г(<,с) определена в параллелепипеде Где = [О, Г] х Ос, Се = {с : |с| < С}; удовлетворяют условию Липшица по с 6 Ос равномерно по 1 £ [О,Г], т.е. для любых с,с 6 вс при 1 £ [О,Г] справедливо неравенство
для некоторого с е вс, например для с = 0, абсолютно интегрируема по < £ [О, Т] так, что справедливо неравенство

<4(4) = еьс2
с'(#) = Е(4, с).
(1.6)
(1.7)
(1.8)