Математическая теория субоптимального управления распределенными системами

• Автор: Сумин, Михаил Иосифович
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Докторская
• Год защиты: 2000
• Место защиты: Нижний Новгород
• Количество страниц: 350 с.

Содержание
0 Введение
0.1 Сокращения, обозначения, нумерация
0,2 Общая характеристика диссертации
0.3 Краткий обзор содержания диссертации
0.4 Основные результаты диссертации
1 Абстрактная параметрическая задача минимизации с операторным ограничением в равномерно выпуклом пространстве
1.1 Правило множителей для субоптимальных элементов в метрическом пространстве
1.2 Абстрактная задача минимизации с параметром в ограничении
1.2.1 Постановка абстрактной параметрической задачи минимизации, минимизирующее приближенное решение (м.п.р.)
1.2.2 Аксиоматика
1.3 Абстрактный принцип максимума для м.п.р. в случае ’’богатого” целевого
множества
1.4 Абстрактный принцип максимума для м.п.р. в случае ’’бедного” целевого множества. Субдифференциалы функции значений
1.4.1 Полунепрерывность снизу функции значений в параметрической задаче
минимизации
1.4.2 Нормали Фреше, субдифференциалы и сингулярные субдифференциалы
полунепрерывных снизу функций
1.4.3 Абстрактный принцип максимума для м.п.р
1.4.4 Субдифференциалы функции значений
1.5 Регулярность, нормальность, чувствительность в параметрической задаче с
операторным ограничением в равномерно выпуклом пространстве
1.6 Экстремальные последовательности
2 Субоптимальное управление параболическими уравнениями
2.1 Задача с нефиксированным временем без его варьирования и с ограничением
типа включения в конечномерное множество
2.1.1 Постановка задачи
2.1.2 Проверка выполнимости абстрактной аксиоматики
2.1.3 Задача с фиксированным временем
2.1.4 Принцип максимума для м.п.р. в задаче с фиксированным временем
2.1.5 Достаточность принципа максимума для м.п.р. в задаче с фиксированным временем
2.1.6 Свойства регулярности, нормальности в задаче с ограничением типа включения с фиксированным временем
2.1.7 Принцип максимума для м.п.р, в задаче с ограничениями типа равенства и неравенства
2.1.8 Достаточность принципа максимума в задаче с равенствами и неравенствами
2.1.9 Свойства регулярности и нормальности в задаче с равенствами и неравенствами, типичность регулярности
2.1.10 Особые минимизирующие последовательности, сходимость минимизирующих последовательностей в задаче с фиксированным временем
2.1.11 Иллюстративные примеры
2.1.12 Задача с нефиксированным временем
2.1.13 Принцип максимума для м.п.р. в задаче с нефиксированным временем
2.1.14 Нормальность, регулярность в задаче с нефиксированным временем
2.1.15 Экстремальные последовательности
2.2 Задача с нефиксированным временем с его варьированием и с ограничением типа включения в конечномерное множество
2.2.1 Постановка задали
2.2.2 Проверка выполнимости абстрактной аксиоматики
2.2.3 Принцип максимума для м.п.р
2.3 Задача с граничным управлением и с ограничением типа включения в функциональное множество общего вида в гильбертовом пространстве
2.3.1 Постановка задачи
2.3.2 Проверка выполнимости абстрактной аксиоматики
2.3.3 Принципы максимума для м.п.р., свойства регулярности и нормальности в задаче с операторным ограничением
2.3.4 Регулярность, нормальность, условная нормальность в задаче с операторным ограничением
2.3.5 Иллюстративные примеры
Субоптимальное управление эллиптическими уравнениями
3.1 Субоптимальное управление квазилинейным эллиптическим уравнением с поточечным фазовым ограничением общего вида в равномерно выпуклом пространстве
3.1.1 Постановка задачи
3.1.2 Проверка выполнимости абстрактной аксиоматики
3.1.3 Принципы максимума для м.п.р., принципы максимума
3.2 Субоптимальное управление полулинейным эллиптическим уравнением с фазовым ограничением в пространстве непрерывных функций
3.2.1 Постановка задачи
3.2.2 Вспомогательные результаты
3.2.3 Аппроксимация задачи с фазовым ограничением задачами с конечным числом функциональных ограничений
3.2.4 Проверка выполнимости абстрактной аксиоматики в аппроксимирующей задаче
3.2.5 Принцип максимума для м.п.р. в задаче с фазовым ограничением
3.2.6 Регулярность, нормальность, условие Слейтера, условие линейности
3.2.7 Липшицевость функции значений, чувствительность
3.2.8 Типичность регулярности
3.2.9 Переформулировка исходной задачи как задачи с равномерно выпуклым
целевым пространством
3.2.10 Расширение исходной задачи с фазовыми ограничениями
3.2.11 Иллюстративные примеры
3.3 Принцип максимума в задаче оптимального управления полулинейным эллиптическим уравнением со смешанным ограничением
3.3.1 Постановка задачи со смешанным ограничением
3.3.2 ” Эквивалентная” задача с равномерно выпуклым целевым пространством
3.3.3 Проверка выполнимости абстрактной аксиоматики
3.3.4 Принцип максимума в исходной задаче со смешанным ограничением .
3.4 Субоптимальное управление полулинейным эллиптическим уравнением с фазовым ограничением в пространстве непрерывных функций и граничным управлением
3.4.1 Постановка задачи
3.4.2 Вспомогательные результаты
3.4.3 Аппроксимация задачи с фазовым ограничением задачами с конечным
числом функциональных ограничений
3.4.4 Проверка выполнимости абстрактной аксиоматики в аппроксимирующей задаче
3.4.5 Принцип максимума для м.п.р. в задаче с фазовым ограничением и
граничным управлением
3.4.6 Регулярность, нормальность
3.4.7 Липшицевость функции значений, чувствительность
3.4.8 Иллюстративные примеры
4 Субоптимальное управление гиперболическими уравнениями
4.1 Задача параметрического субоптимального управления системой Гурса-Дарбу
4.1.1 Постановка задачи
4.1.2 Задача с фазовым ограничением в Дз(П)
4.1.3 Принципы максимума в задаче с фазовым ограничением в 1/2(П)
4.1.4 Иллюстративные примеры к задаче с фазовым ограничением в .Дг(П) •
4.1.5 Задача с фазовым ограничением в С(П)
4.1.6 Иллюстративные примеры к задаче с фазовым ограничением в С(П) .
5 Субоптимальное управление в негладких задачах оптимизации распределенных систем
5.1 Параметрическая негладкая задача оптимального управления для параболического уравнения
5.1.1 Постановка негладкой задачи

Лемма 0.3.9. Если функция значений (3 липшицева в окрестности точки д, то в каждой точке этой окрестности в задаче (Ря) существуют регулярные м.п.р..
Лемма 0.3.10. Если в задаче (Рч) имеет место неравенство {3(д) < /За(д), то любая последовательность пар ж', г = 1,2,..удовлетворяющая соотношениям
10(ж') -4 Д 6 Ш, ШЪ Ч**) < Ш + е‘, б1 -> О, г -> оо,
является стационарной, а в случае б £ [Р{я), А>(?)) не является нормальной стационарной последовательностью в задаче (Ря).
Следствие 0.3.4. Строгое неравенство (3(д) < /?о(?) в задаче (Ря) не может выполняться, по крайней мере, в двух следующих случаях: 1) задача нормальна; 2) в задаче имеется нормальная м.п.р.(ср. с [18, теорема У.З-4]).

Лемма 0.3.11. Если р £ Л есть вектор Куна-Таккера в задаче (Рч), то —р €М2, —р £ <9/%).
И, наконец, завершим перечисление свойств нормальности задачи (Р() с равенствами и неравенствами формулировками трех заключительных лемм, не вытекающих непосредственно из результатов п.1.5, первые две из которых являются обобщениями на случай субоптималь-ного управления классических условий нормальности из математического программирования (речь идет об условиях Слейтера и линейности), а третья - связывает субдифференциал д/в (су) функции значений с векторами Куна-Таккера.
Лемма 0.3.12. Пусть в задаче (Ря) отсутствуют ограничения типа равенства, то есть ае = ай1, а исходные данные имеют вид: Ь,(х, 1,«) = 6,(аг, 4), * = 1, ...,п, а{х,Ь,и) = а{х,б), С1(х,г,и) = С}(х,г) + С[{х,и), i = 1,...,ае, функции й} выпуклы по г. Если при этом существует такая пара ж0 £ V, для которой Р{ж°) < д;, » = 1,...,ае, то задача (Рч) нормальна.
Лемма 0.3.13. Пусть в задаче (Рч) функции Ь,(х, 1,и), г — 1,... ,п, а(х,1,и) такие же, как в предыдущей лемме, С,(х, г, и) = С[(х)х + Су2(ж, и), г = 1,..., ае, и существует последовательность п1 £ Т>(', * = 1,2,..., 7* > 0, 7! -> 0, * —► оо, ие являющаяся стационарной.
Тогда задача (Ря) нормальна.
Лемма 0.3.14. Пусть задача (Рч) линейно-выпукла и нормальна. Тогда имеет место ра-

венство д/3(д) =М?г= —Мя, где Мч - множество всех векторов Куна-Таккера задачи (Рч).
Изучение задачи (Ря) с фиксированным временем заканчивается рассмотрением конкретных иллюстративных примеров.
Здесь же для задачи (Ря) с М = М~ вводится понятие особой минимизирующей последовательности, обобщающее классическое понятие особого оптимального управления, и обсуждается связь этого понятия с проблемой сходимости минимизирующей последовательности.
Далее в п.2.1 обсуждается задача (Рч) с нефиксированным временем и отмечается, что исследование такой задачи естественно усложняется. Однако и для нее оказываются справедливыми многие из полученных выше результатов и, в первую очередь, результаты, связанные с принципом максимума для м.п.р..