Исследование разностного уравнения Шредингера для некоторых физических моделей

• Автор: Тинюкова, Татьяна Сергеевна
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2013
• Место защиты: Ижевск
• Количество страниц: 119 с.

Оглавление
Введение
Глава 1 Разностный оператор Шредингера для квантовых проволок
§ 1. Предварительные сведения
§ 2 . Спектр и резольвента невозмущенного оператора
§ 3. Квазиуровни слабо возмущенного оператора
§ 4. Уравнение Липпмана-Швингера для слабо возмущенного
оператора
§ 5 . Нестационарная картина рассеяния для слабо возмущенного
оператора
§ 6 . Квазиуровни и рассеяние для оператора Н
Глава 2 Разностный оператор Шредингера для квантового волновода
§ 7. Спектральные свойства оператора
§ 8. Квазиуровни слабо возмущенного оператора
§ 9. Нестационарная картина рассеяния для слабо возмущенного
оператора
Глава 3 Рассеяние электрона на кристаллическом слое .
§ 10. Вспомогательные конструкции и утверждения
§ 11. Уравнение Липпмана-Швингера для слабо возмущенного
оператора
§ 12 . Рассеяние для слабо возмущенного оператора
Список литературы

Введение
Диссертация посвящена исследованию спектральных свойств, а также рассеяния, для некоторых разновидностей одночастичного уравнения Шредингера, возникающих в квантовой теории твердого тела. При этом рассматривается конечно-разностное приближение, но можно также считать, что физические модели рассматриваются в приближении сильной связи, поскольку оба приближения, с математической точки зрения, приводят к похожим разностным уравнениям.
Важность математического исследования уравнения Шредингера в разностном подходе (или в приближении сильной связи) объясняется, во-первых, значительно возросшей в последние 20-30 лет популярностью такого подхода в физической литературе, относящейся к наноразмерным устройствам - основе будущей микроэлектроники (см., например, [2]-[5]). (Заметим, что классическая теория рассеяния для уравнения Шредингера, основанная на интегральном (матричном) уравнении Липпмана-Швинге-ра, в настоящее время особенно актуальна для данных физических приложений, поскольку вероятность прохождения оказывается пропорциональной электронной проводимости в квантовой проволоке (см. [1]).) Во-вторых, это связано с тем, что, несмотря на физическую актуальность, математических работ, исследующих данные модели, сравнительно немного и относятся они, как правило, к решеткам й ^ 1. Между тем, математические модели в этой области даже в одномерном случае (на графе) имеют достаточно интересные и необычные свойства.
Отметим некоторые математические работы, близкие по содержанию к теме диссертации.
В статье [6] рассматривается двумерная модель периодического волновода с дискретным неоднородным оператором Лапласа. Доказано суще-

ствование квазиуровней (мод) и решения уравнения Липпмана-Швингера. Обсуждаются, на основе численных расчетов, особенности рассеяния вблизи квазиуровней.
В статье [7] рассмотрен разностный оператор Шредингера на графе, полученный из обычного оператора Шредингера электрона в системе, состоящей из квантовой проволоки и квантовой точки. Изучается существование и поведение в зависимости от малой константы связи собственных значений и резонансов, а также задача рассеяния для малых потенциалов.
Автор работы [8] рассматривает систему, состоящую из конечной цепочки атомов (бильярда), которая присоединена (параллельно или последовательно) к бесконечной цепочке. Исследовано поведение матрицы рассеяния вблизи резонанса в случае слабой связи бильярда с бесконечной цепочкой.
В статье [9] рассматривается семейство дискретных операторов Шредингера Н{к), полученных из двухчастичного оператора, где к - двухчастичный квазиимпульс. При определенных условиях для размерностей 1, 2 доказано, что если нуль является квазиуровнем оператора Н(0), то операторы Н{к) имеют собственное значение левее существенного спектра.
В статье [10] различными способами получены формулы для функции Грина некоторых разновидностей разностного оператора Лапласа.
В [11] показано, что расстояние между собственными значениями дискретного одномерного оператора Шредингера для конечной цепочки с граничными условиями Дирихле или Неймана, отделено от нуля равномерно по длине цепочки (получена явная оценка снизу). В частности у спектров таких операторов нет вырожденных собственных значений.
Статья [12] посвящена описанию существенных спектров, а также оценкам убывания собственных функций на бесконечности разностных

I Im ЛI.
Положим Я^уДА) = (Яоі + eVj — A)”1, j — 1,2.
Лемма 3.3. Точка A € v такая, что А ф eVi(O) и 1 ф f2(X,6), является квазиуровнем оператора Не для достаточно малых є тогда и только тогда, когда
(1-/2(А,А) + б/(А,0Лб)/(А,А))х х{1 - 12(ф) + ef(, =
= y/V&)f(A, y/v&), (3.6)
где = 4j(n, А) = л/|УДЯ£уДА)6(п), j = 1,2.
Доказательство. Уравнение (3.3) запишем с помощью леммы 2.2 в виде системы
V?i (n) = -evWx
w /"о /Ь /ТГ,_ f{y/V~2V2) - f{VV~m)f{Ô) п ч
х (Я01 (А)V ^ ^-Яоі(А)б)(п), п Є Z,
ip2(m) =
..(г, (\ /ТГ _ /(/Vl¥>l) - f{y/%4>2)f(b) п ч
х (ЯоцА) V И2Я2------------2 — /2(£)--------------------_т?оі(А)о)(т), m Є Z,
(3.7)
или для достаточно малых е в эквивалентной форме
,, mww) - f(vvm)m..
Р'[П> - 1 - J5(5)
х ((1 +£/Шйоі(А)УЇД)-1(х/ЇУДЯ01(А)А))(п), neZ,
- f(y/V2 x ((l + £V/Mî^oi(A)^)-1(v^^oi(A)^))(m), m Є Z.
(3.8)