Аналитические решения задачи об инициировании тепловой волны для нелинейного уравнения теплопроводности

• Автор: Кузнецов, Павел Александрович
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2015
• Место защиты: Иркутск
• Количество страниц: 139 с. : ил.

Оглавление
Введение

1 Задача с данными на цилиндре или сфере

1.1 Постановка задачи. Формулировка теоремы

1.2 Доказательство существования аналитического решения .

1.3 Построение решения в виде ряда

1.4 Вычислительный эксперимент

1.5 Случай трех пространственных переменных

2 Задача в пространстве М2

2.1 Постановка задачи. Формулировка теоремы

2.2 Доказательство существования аналитического решения .

2.3 Построение решения в виде ряда
3 Задача в пространстве Е3
3.1 Постановка задачи. Формулировка теоремы
3.2 Доказательство существования аналитического решения .
3.3 Построение решения в виде ряда
Заключение
Литература
Приложения
Приложение 1
Приложение 2

Приложение 3
Приложение 4
Приложение 5

Введение
Настоящая диссертационная работа посвящена доказательству теорем существования и построению кусочно-аналитических решений задач с вырождением для нелинейного уравнения теплопроводности, записанного в цилиндрических (полярных) либо сферических координатах.
Уравнение теплопроводности, как известно, является одним из трех классических дифференциальных уравнений математической физики. Обычно при отсутствии источников (стоков) и внешних массовых сил оно записывается в виде
и і = сії м(/сУС/), (1)
где и = и(і,х) — искомая функция (температура), г — время, ж£Іп-вектор пространственных переменных; к — коэффициент теплопроводности; сііу и V — операторы дивергенции и градиента по пространственным переменным.
Это уравнение интересно тем, что оно имеет большое количество приложений в различных областях науки и техники. Помимо, собственно, описания процессов распространения тепла [31,72], оно используется в теории фильтрации жидкостей и газов [6,127], в теории движения грунтовых вод [84], в биологии при построении математических моделей роста и миграции популяций [148], в химической кинетике [75] и т. д.
В линейном случае уравнение теплопроводности достаточно давно и хорошо изучено. Впервые полученное Ж. Фурье еще в первой половине XIX столетия [141], оно рассматривается теперь во всех учебниках, посвященных теории уравнений с частными производными, как классический пример уравнения параболического типа [15,18,24,67,70,76,79,

неизвестной функции Ь. Якобиан замены равен
1 Яг I _
О I ^ М.*
Докажем, что замена (1.2.6) невырождена. Положим в уравнении (1.2.3) т = 5 = 0. С учетом равенств 6(0) = 0 и (1.2.5) придем к уравнению
-Д2Ь'(ОК|г=5=о = -Д2(н8|т=8=0)2, а
разрешая которое получаем (случай и3т=я=о = 0 приводит к тривиальному решению), что
5=0 ^6 (о).
Так как по условию 6'(0) ф 0, то в силу аналитичности функции Ъ неравенство Ь' ф 0 справедливо в некоторой окрестности т = 0, и, следовательно, замена невырождена.
Исходя из соотношения
д д д д
Л = ^ т«я ~я~ ’
ои 03 ОТ
получаем, что производные по э изменяются в соответствии с формулами
д_ _ ]_д_ _ 1_д_ (]_д _ _*ичд_ 1 д
дз зи да ’ с)я2 зи ди Ои) з2 ‘&а ^ з2 ди
Для производной но t имеем
д д д д д д д ей ^5.3 Тге)т + дт зиди^ дт
Отсюда получаем, что
д _ д 5г д
дт Э1 зи ди
В конце концов, мы получаем следующие формулы для производных, входящих в уравнение (1.2.3):
5^ 1 5ии
Ит , и я 5 ^65 о“'
5« 5£
Уравнение (1.2.3) принимает вид
(в + Ь + /?)

I ** ъ>

1т 5Т