Алгоритмические уточнения приближений нелинейных функций и решений дифференциальных уравнений

• Автор: Аман, Уллах
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 1984
• Место защиты: Киев
• Количество страниц: 120 c. : ил

Глава I. ОБЩИЕ ВОПРОСЫ УТОЧНЕНИЯ ПРИБЛИЖЕНИЯ НЕЛИНЕЙНЫХ

ФУНКЦИЙ

§1.1. Определения, обозначения и свойства нелинейной

функции

§ 1.2. Анализ приближения нелинейной функции с таблицами примеров

§ 1.3. Недостатки обычного метода приближения

§ 1.4. Теоремы уточнения приближения нелинейной функции

§ 1.5. Алгоритм вычисления погрешности

§ 1.6. Основания уточнения

§ 1.7. Основные методы уточнения и вычисления погреш

ности
§ 1.8. Уточняемая форма уравнения с примером
Глава II. УТОЧНЕНИЕ ПРИБЛИЖЕНИЯ НЕЛИНЕЙНОЙ ФУНКЦИИ ПРИ
ПОМОЩИ РАВНОМЕРНЫХ МЕТОДОВ
§ 2.1. Методы регулировки параметров
§ 2.2. Методы регулировки параметров в случае взаимнокомпенсирующейся погрешности
§ 2.3, Методы регулировки параметров в случае дискретного приближения
§ 2.4. Методы регулировки параметров в случае дискретного приближения к взаимнокомпенсирующейся погрешности
Глава III. ПРИМЕНЕНИЕ МЕТОДОВ УТОЧНЕНИЯ К РЕШЕНИЯМ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
§ 3.1. Анализ бесконечно дифференцируемой функции
§ 3.2. Теоремы разложения нелинейной функции
§ 3.3. Приближения к бесконечно дифференциремым функциям
§ 3.4. Применение методов уточнения
ЛИТЕРАТУРА

БВЕДЕНИЕ
При решении многих задач физики и техники возникает необходимость исследования нелинейных колебательных систем, фундаментальный вклад в решение данной проблемы внесли И.М.Крылов, H.H. Боголюбов и их ученики [б, 29, 30, 50].
Разработанные и строго обоснованные ими методы образовали мощный, практически удобный математический аппарат исследования.
В работах Ю.А. Митропольского и других авторов на основе замены нелинейной функции полиномом получены оценки погрешности отклонения найденного приближенного решения от точного решения данного уравнения [II, 13,15,16,Г?, 18,20,23,3?,47,53.]
В данной диссертационной работе, которая примыкает к указанным выше исследованиям, изучаются вопросы уточнения приближений нелинейной функции и их применение к уточнению приближенных решений нелинейных дифференциальных уравнений.
Актуальность исследования этих вопросов вызвана тем, что для некоторых задач оказывается недостаточно использования разложения нелинейной функции в ряд Тейлора. Поэтому построение различных методов уточнения приближений нелинейной функции является важным и актуальны},1 для теории приближенных методов решений дифференциальных уравнений.
Результаты работы расширяют возможность применения приближенных методов при исследовании нелинейных колебательных движений.
Они могут быть применены при решении прикладных задач небесной и классической механики.
К основным результатам диссертации относятся:
1. Теоремы уточнения ДП -ого приближения на основе линейной и нелинейной погрешности.
2. Равномерные методы уточнения с алгоритмом вычисления

погрешности.
Л а"
3. Описаны формулы неравномерных методов уточнения ж -ото приближения нелинейной функции.
4. Изложены применения методов уточнения приближений К ИС-следованиягл колебателышх решений ісонсерватпвной системы дифференциального уравнения второго порядка.
Все результаты, содержащиеся в диссертации, являются новыми, строго математически обоснованы и получены автором лично.
Диссертация состоит из трех глав.
Г л а в а I называется: ” Общие вопросы уточнения приближения нелинейных функций*'.
В первой главе рассматриваются общие вопросы уточнения конечного разложения к приближению нелинейных функций. Доказаны теореш уточнения и обосновываются методы ЗГТОЧНЄШІЯ Ш -ото приближения с алгоритмом вычисления.
В §1.1 приводятся нужные обозначения и определения.
Предположим, что функция У — |(х) на интервале / о % а
I. Разлагается в бесконечный ряд
П. / ) - непрерывная функция на /о , а1 /, где
- односторонним приближением, если

в новом интервале (О, а1) , где а'< а;(Кв1К,, Кг,К3)-К) — коэффициенты уточнения И (С»1 ,с! , С-’г., С з , Ст ) - новые
коэффициенты, которые можно вычислять при помощи разных методов уточнения в разных случаях по мере необходимости.
Пример. Проиллюстрируем наш метод на следующем конкретном примере. Рассмотрим дифференциальное уравнение обычного математического маятника |2
+- £ (5>1иэс) = 0 на интервале (0,0.) - (1)
Разложив функцию 61 и ос в бесконечный ряд и ограничиваясь тп-ым приближением, получим
СИ2 С ' 3? 5! (2ш-1) 1 > 0
Тогда уточненное приближенное уравнение на новом интервале (о,а’) тлеет следующий вид
^2с ^ _9у(к к сс!_...+ (чГ<К _2с!^__0 (з)
где ( К, , К, , К5 , КЛ) • ■ * , Кгт.ч ) — коэффициенты
уточнения, которые можно вычислять при помощи разных методов уточнения в разных случаях, как необходимо.
Метод I. Сущность этого метода состоит в регулировании одного последнего коэффициента Кт данного приближения.
Из условий, приведенных в § 5 для уточнения, в частности, получаем условия следующим образом в двух случаях:
(л) -у (хт)=5 (хт)=Х1 ии(аст) + Ктим(хт);
(Б) Мах -|Е|

([ЩьОЛгЬИДШ]*
1Л^-£ииц}-К1яи1.(ос)]с1х
У нас есть два неизвестных параметра из четырех (Кт,огт,Е о1)