Алгебраические свойства интегрируемых гамильтоновых систем на алгебрах Ли

• Автор: Беляев, Александр Владимирович
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 1984
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 71 c. : ил

ГЛАВА I
§1. Редукция симплектических многообразий с симметриями.
Интегрируемость гамильтоновых систем
§2. / »инварианты
§3. Сходные функции
§4. Примеры интегрируемых гамильтоновых систем. Задача о
движении многомерного твердого тела с потенциалом
§5. Теоремы о полной интегрируемости некоторых систем с
некоммутативными алгебрами первых интегралов
ГЛАВА II
§1. Инварианты алгебр Ли вида /#•
§2. Сингулярные орбиты алгебры Ли -40Сп)0- & ?
§3. Дополнительные замечания относительно движения И--мерного твердого тела с группой симметрий £о(£)®£о(п'Ь')
§4. Технические подробности
ЛИТЕРАТУРА
І. В последние годы значительное внимание привлечено к задаче интегрирования гамильтоновых систем на симплектических многообразиях, в частности,' на орбитах коприсоединенного представления алгебр Ли. Интерес к исследованию гамильтоновых систем объясняется рядом глубоких результатов математической физики (см. книгу [2^] там же приведен список литературы), связанных с интегрированием уравнения Кортевега - де Фриза (КдФ).
В 1971 г. В.Е.Захаров и Л.Д.Фадцеев показали ( [25] ), что уравнения КдФ с быстроубывающим потенциалом представляют собой вполне интегрируемую гамильтонову систему, а в 1974 г. С.П.Новиков и Б.А.Дубровин разработали метод интегрирования КдФ с периодическим потенциалом в 0 -функциях ([Ч0]Дг1]-[гз]); при этом установлена связь со случаем быстроубыващего потенциала. Эти результаты стали основополагающими для большого числа работ (см. обзоры 1293, [30],[3?], 149] ). В частности возникло направление, решающее задачу построения вполне интегрируемых гамильтоновых систем на алгебрах Ли.
Системы, интегрируемые по Лиувиллю, исследовались в работах
А.С.Мищенко, А.Т.Фоменко, В.В.Трофимова (t3Lt3,[35],[li93,[5ö], [52] ) и ряда других авторов.
Системы на алгебрах Ли, интегрируемые в Q -функциях исследовали М.Адлер и П.ван Мёрбеке ( 11)-БЗЗ ), 0.И.Богоявленский ( [юЗДії]), а также А.Г.Рейман и М.А.Семенов-Тянь-Шанский (t^5l~ №]).
Методы интегрирования в теории гамильтоновых систем сочетаются с результатами, доказывающими отсутствие первых интегралов

для ряда классических систем. Первые результаты такого типа получены еще А.Пуанкаре. Недавним серьезным продвижением стало доказательство В.В.Козловым ([2.?],[2£] ) отсутствия аналитических первых интегралов в задаче о движении твердого тела в поле силы тяжести при некоторых ограничениях на тело.
Подводя итог, можно сказать, что теория гамильтоновых систем сейчас обладает целым рядом сильных методов, позволяющих получать новые результаты для классических задач, а также решать задачи, необходимость исследования которых появилась уже в настоящее время.
2. Одной из классических задач гамильтоновой механики, к которой была применена техника интегрирования уравнения ЦцФ, является задача о движении твердого тела (вообще говоря многомерного).
В 1969 г. В.Й.Арнольд показал ( [41 ) гамильтоновость уравнений Эйлера, затем серию первых интегралов обнаружил А.С.Мищенко ( [35] ), а Л.А.Дикий показал ( 120)) их инволютивность.
Полную интегрируемость в б -функциях задачи о движении п. -мерного твердого тела доказал С.В.Манаков ([31]), записав уравнения Эйлера в виде I-А -пары с параметром и воспользовавшись леммой Б. А.Дубровина (1251). Наличие 1_>/ч -пары с параметром позволило также получить целую серию первых интегралов. Этот факт был использован А.С.Мищенко и А.Т.Фоменко (1351 ) для построения вполне интегрируемых по Лиувиллю гамильтоновых систем на полупростых алгебрах Ли (метод сдвига инвариантов). В частности, была доказана полная интегрируемость аналогов уравнений движения многомерного твердого тела на всех полупростых алгебрах Ли. Дальнейшее развитие метода сдвига инвариантов имеется в работах М.Адлера, П.ван Мёрбе-ке (Г11 ), А.Г.Реймана (ПМЗ), В.В.Трофимова ([513 ), Дао

вариантами, оказываются в то же время функциями вида Ж * 7 (при фиксированном X ). В самом деле, это так, поскольку функции ЗрСК V) линейны на ^ * и равны нулю на ( Агъп. Х)-1*.
Количество функционально независимых на Ап-пХ функций равно с11пг Агыг X = = Ьпс1 Ап.п.Х
I 2,1^
То, что функции ) образуют полный набор инвариантов при действии ортогональной группы Н = БоСгг) на кососимметрических матрицах сопряжением - классический результат. Утверждение доказано.
3. Утверждение 3. Полную систему инвариантов алгебры Ли
б1 (а, 1В) О- С + 1^а) образуют функции
° 1,1,... 1, 2, г 2, к,к,... к 4 ик Л
где £.-,= [£• ] + &, Ь-°;1 , ^.^-гг-к.
Доказательство. Легко установить, что функции являются инвариантами, воспользовавшись утверждением 1.2.
В самом деле, поскольку А - ке = ~ Ь-с. ,
{&11- ^ ,х1}=ь -
» * * с, гг. о ^ ^ - - - •
' X > X - базис
Равенство нулю имеет место, тан как детерминант (6 ) системы векторов равен нулю, если два вектора в ней совпадают.
Итак, функции 6 являются инвариантами алгебры Ли
£ 01,112)0- ^ » предъявим теперь максимальный функционально независимый набор инвариантов.