Характеристические свойства некоторых операторов гармонического анализа в весовых пространствах функций ограниченной средней осцилляции и пространствах Харди

• Автор: Фам Тиен Зунг
• Шифр специальности: 01.01.01
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2009
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 71 с.

СОДЕРЖАНИЕ
ВВЕДЕНИЕ
Глава 1. ПЕРЕСТАНОВОЧНОСТЬ ОПЕРАТОРОВ РИМАНА--ЛИУВИЛЛЯ С ПРЕОБРАЗОВАНИЯМИ ФУРЬЕ § 1.1. Преобразование Фурье функций в пространствах Лебега и
предварительные сведения
§ 1.2. Теорема Веллмана-Голубова для операторов
Римаиа—Лиувилля
Глава 2. ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА ПРОСТРАНСТВ ХАРДИ Нр И ОГРАНИЧЕННОСТЬ ОПЕРАТОРА РИМАНА-ЛИУВИЛЛЯ В ПРОСТРАНСТВЕ Я.еНК
§ 2.1. Пространство Нр и его свойства
§ 2.2. Ограниченность оператора Римана-Лиувилля в
пространстве Нр
§ 2.3. Случай р
Глава 3. ОГРАНИЧЕННОСТЬ ИНТЕГРАЛЬНЫХ ОПЕРАТОРОВ В ВЕСОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ ФУНКЦИЙ ОГРАНИЧЕННОЙ СРЕДНЕЙ ОСЦИЛЛЯЦИИ.
§ 3.1. Весовые пространства функций ограниченной
средней осцилляции
§ 3.2. Ограниченность обобщенного оператора
Харди-Литтлвуда
§ 3.3. Ограниченность оператора Римана-Лиувилля в
классическом пространстве ВМО
§ 3.4. Ограниченность одного класса интегральных
операторов в классическом пространстве ВМО
ЛИТЕРАТУРА
ВВЕДЕНИЕ
В теории функций хорошо известны задачи об изучении свойств операторов классического и гармонического анализа, действующих в вещественных или комплексных нормированных пространствах. Из всего многообразия мы рассматриваем, в основном, три задачи. Первая из них связана со свойством перестановочности операторов с преобразованиями Фурье, вторая посвящена получению теорем о представлении элементов классических пространств Харди Нр в верхней полуплоскости и, наконец, третья задача посвящена проблеме ограниченности интегральных операторов в весовых пространствах функций ограниченной средней осцилляции. Все три задачи объединены тем, что в них проявляются новые свойства операторов дробного интегрирования Римана-Лиувилля.
Остановимся подробнее на характеристике каждой из перечисленных задач и приведем известные результаты. Сначала дадим необходимые определения.
Пространство Лебега — Ьр{—оо, со), 1 < р < оо состоит из всех
измеримых функций, для которых конечна норма
Для пространств Лебега на более узких множествах - полуось К+ := (О, оо), интервал (а, Ь) С1:= (—оо, оо), мы пользуемся обозначениями Ьр(0, оо) и Ьр(а, 6), а также соответствующими модификациями в обозначениях норм.
На пространстве Лебега Ь1 определено преобразование Фурье .'? :
||/||оо := еБЭзир |/(.г)| < оо при р = оо.
—ос<х<оо

в виде

L1 —> ь°°
f{x) := &(f)(x) := f f(t)eixtdt. (0.1)

В том случае, если J(/) Є L1, то верна формула обращения

f(x) = ~ f f{t)e-ixtdt. (0.2)

В частном случае, если / четная функция, то преобразование Фурье / также является четной функцией и формула (0.1) может быть записана в виде

fit) cos xtdt. (0.3)

Если же / нечетна, то и / нечетна, В этом случае

-г f{x) = у J fit) sin xtdt. (0.4)

Если функция / определена на полуоси (0,оо), то правые части в
(0.3) и (0.4) называются косинус- и синус преобразованием Фурье и
обозначаются fc и fs, соответственно.
В классической монографии Е. Титчмарша ([19], Теорема 69) для функций / Є L2(0, оо) доказаны равенства
t оо Ґ оо Л
j У fc{x)dx = J j J ~~dy і cos txdx
ОО Л OO ( X
t 0 v о
f{y)dy > costxdx
В работе В. И. Голубова [9] эти формулы обобщаются для функций / е Ьр(0,оо) при 1<р<2и1<р<2, соответственно.
Доказательство. Случай у — 1. Пусть Г £ /71 и пусть В(г)~ произведение Бляшке с нулями функции Е(г), тогда также как в доказательстве предыдущей теоремы, — СДДСДД. Имеем
< сМС1МС2,
где М-максимальная функция Харди-Литтвуда.
Используем неравенство Гельдера и ограниченность оператора М в Б2, получаем

I МР{;х)х<с\МС1ММ02\2

< сЦСхЦгЦСгЦг-
Поэтому
||СД|2 < \GjWh, = ||С||2 = ||||2, и = 1. 2)
следовательно, случай р — 1 доказан.
Случай у > 1. Пусть F е Яр и пусть .6 (Д-произведение Бляшке с нулями функции -Р(-г), тогда Б(Д = Б?(ДС?(Д и ||С||яр = ЦЦяр-Так как |(л)| < |С(Д|, то |ЛгБ'(.т)| < |АС(.т)|. Так как &(Д не имеет нулей и С (г) £ Нр, то аналитическая функция (?Р'2(Д £ Н2. Отсюда следует, что (-/У(?)Р/,2(з;) = N(Gp/2)(x) £ Б2 и
\NFWP < ||Ж7||£ - ||(6Г/2||2 = 11(С2)||2
<с||ср/2ц = с№ = с№- □
Следствие 2.5. Пусть 1 < у < оо и БДт + iy) принадлежит Нр{11) с граничной функцией /'’(ж) из Б11. Тогда