Устойчивость в теореме Лиувилля на группах Гейзенберга

• Автор: Исангулова, Дарья Васильевна
• Шифр специальности: 01.01.01
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2005
• Место защиты: Новосибирск
• Количество страниц: 98 с.

1 Локальная теорема устойчивости в норме Соболева на группах Карно

1.1 Группы Карно

1.2 Пространство Соболева

1.3 Отображения с ограниченным искажением

1.4 Локальная качественная теорема устойчивости в И^-норме

2 Отображения с ограниченным удельным колебанием

2.1 Пространство однородного типа

2.2 Допустимый класс Б: определение и примеры

2.3 Класс ВБОч(Б)

2.4 Лемма Зигмунда — Кальдерона

2.5 Доказательство теоремы 2.1 и ее следствия

3 Свойства мёбиусовых преобразований групп Гейзенберга
3.1 Группа Гейзенберга
3.2 Группа мёбиусовых преобразований и ее алгебра Ли
3.3 Свойства производных мёбиусовых преобразований
3.4 Мёбиусовы преобразования, близкие к тождественному
4 Устойчивость в теореме Лиувилля на группах Гейзенберга
4.1 Контактная структура и система Бельтрами на группе Гейзенберга
4.2 Оператор <3
4.2.1 Оператор С}, ядро оператора ф и проектор на ядро оператора <2
4.2.2 Предварительная теорема устойчивости в теореме Лиувилля
4.3 Следствия локальной теоремы устойчивости в норме Соболева
4.3.1 Сохранение К Д-ориентации
4.3.2 Применение теорем вложения
4.3.3 Отображения с ограниченным искажением и класс
В вО
4.4 Локальная теорема устойчивости. Точный порядок отклонения от мёбиусовых преобразований
4.5 Устойчивость в теореме Лиувилля «в целом»
4.5.1 Области Джона и области с равномерным внутрен-

4.6 Примеры
ним условием спирали
4.5.2 Области Джона и Бомана
4.5.3 Глобальная теорема устойчивости в теореме Лиувилля

Список литературы

Классическая теорема Лиувилля говорит о том, что всякое конформное отображение евклидова пространства К", п ^ 3, есть сужение некоторого мёбиусова преобразования всего пространства, т. е., сужение композиции конечного числа преобразований инверсии относительно сферы. Напомним, что отображение / называется конформным, если в каждой точке области определения матрица Якоби f'{x) — общее ортогональное преобразование. Наглядно отображение области п-мерного евклидова пространства конформно, если оно переводит всякую бесконечно малую сферу в бесконечно малую сферу.
Конформные отображения образуют группу преобразований, которая в отличие от плоскости является конечномерной группой Ли. Введение квазиконформных отображений мотивировано, в частности, желанием разнообразить класс допустимых объектов. Грубо говоря, квазиконформный гомеоморфизм характеризуется тем, что образ всякого бесконечно малого шара является эллипсоидом, у которого отношение наибольшей полуоси к наименьшей не превосходит некоторой постоянной К ^ 1. Если мы откажемся от условия гомеоморфности, то получим концепцию отображения с ограниченным искажением. В случае К = 1 отображение конформно.
Задача об устойчивости в теореме Лиувилля о конформных отображениях состоит в том, чтобы
1) показать, что при К, близком к единице, отображение с ЛГ-ограничен-ным искажением приближается мёбиусовым,
2) оценить порядок отклонения отображения от мёбиусова в зависимости от величины К — 1.
Близость отображения с ограниченным искажением к мёбиусовому можно рассматривать в различных топологиях: равномерной, интегральной, пространств Соболева

Проблема устойчивости в теореме Лиувилля о конформных отображениях пространства была поставлена М. А. Лаврентьевым в 30-х годах прошлого столетия и им же были установлены первые теоремы устойчивости [18, 19]. Дальнейшее развитие теория устойчивости получила в основном благодаря работам П. П. Белинского [1, 2] и Ю. Г. Решетняка [20, 21, 22, 23, 24, 25]. Полное решение проблемы Лаврентьева получил Ю. Г. Решетняк [27]. Он установил теорему устойчивости в норме Соболева на областях Джона с порядком близости 0(К — 1) и показал, что при К, близком к 1, частные производные отображения с /("-ограниченным искажением локально суммируемы в степени
Отдельный интерес представляет нахождение конкретных значений постоянных в оценках устойчивости в теореме Лиувилля о конформных отображениях в пространстве. Например, В. И. Семенов оценил порядок близости отображения с К-ограниченным искажением единичного шара пространства Жп, п ^ 3, к мёвкусовому преобразованию в равномерной норме как (2 + — 1) [30, 31].
Исходная постановка М. А. Лаврентьева проблемы устойчивости относится не только к конформным отображениям, но также и к общим переопределенным системам. Вопросы устойчивости поведения физических систем и математических объектов относительно малых возмущений определяющих их параметров важны и интересны для приложений. Таким образом, проблема устойчивости в теореме Лиувилля является частным случаем большого числа задач об устойчивости классов отображений.
В качестве примера можно привести устойчивость изометрий в классе квазиизометрий, впервые рассмотренную Ф. Джоном [46]. Другой подход к исследованию устойчивости изометрий разработал Ю. Г. Решетняк [27]. Новый результат по устойчивости изометрий можно найти в работе Р. Д. Джеймса, С. Мюллера и Дж. Фриесеке [43], в которой они применяют устойчивость к теории упругости. Известна также устойчивость класса лоренцевых отображений [11].
А. П. Копылов разработал абстрактный принцип построения теории устойчивости классов отображений, обобщающий многие известные результаты. Он построил концепцию ^-устойчивости классов отображений в С-норме и показал, в частности, устойчивость голоморфных отображений нескольких комплексных переменных [17].
Квазиконформный анализ на группах Карно стал предметом интенсивного исследования после того, как были установлены связь квазиконформ-

Отсюда
Dhvix) - 11 = вир |Оъ,р{х)Н - к < |А| + |В| Ь + |С| < 19.5е2. |Л|«1

Лемма 3.8. Пусть р Е Мп, р{оо) = оо и р{р(р),р) < £ < 3/8 для всех р Е В(0,1). Тогда
р = псорАо 5Т,
где |1 - т2| ^ 2е2, А - /| ^ с = (с, 7) и |с| < 2е2, |7| < е2.
Доказательство. Прежде всего покажем, что (р Е М+. Предположим обратное: р Е М~. Тогда по предложению 3.1 р — ютгсорАодТ, А Е и(п), т > 0, с = (с, 7) £ Н". Мы имеем
х~1-р(х)
= |(тАг + с — г, — <(1 + т2) — 7 — 21т(с, тАг) — 21т(я,тАг + с))| < е.
Полагая (я, Т) — 0, получаем |7| < е2. Рассмотрим я = 0, £ = 1. Тогда
|1 + т2| ^ |1 + т2 + 7| + |7| ^ 2е2,
что противоречит е < 1//2. Следовательно, р Е я р = ттс о рА о 5Т,
|с| < 6.
Фиксируем х = (г, £) € Б(0,1). Имеем |с| = р(у>(0),0) < е и р{х) = (тАг + с, 7 + т2£ + 21т(с, гЛя)),
|ж-1 • <£>(ж)|=|(с + тЛя — я, 7 + тН + 21т(с, тЛя) — Ь — 21т(я, гЛя+с)) |. Отсюда
|г Ля — я| < |с + тЛя — я| + |с| < 2е |тЛ — 1 < 2е.
Полагая я = 0, £ = 1 в неравенстве
|7 + т2£ + 21т(с, тЛя) — £ — 21т(я, тЛя + с)) | < е2,
получаем |т2 — 1| ^ |7 + т2 — 1| + |7| < 2е2.
При £ = О имеем
2| 1т(2с + тЛя, я)| ^ |7 + 21т(с, тЛя) — 21т(я, тЛя + с))|
+ |7| + 2| 1т(с, тЛя — я + с)| ^ 4е2