Сходимостные алгебраические системы и их пополнения

• Автор: Бекбаев, Урал Джумаевич
• Шифр специальности: 01.01.01
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 1984
• Место защиты: Ташкент
• Количество страниц: 98 c. : ил

§ I. Предварительные сведения

§ 2. О полугруппе симметрий ОДНОЙ сходимости

§ 3. Конечномерные сходимостные векторные пространства

§ 4. Бесконечномерные сходимостные векторные пространства

§ 5. Компактные монотетические сходимостные полугруппы

§ б. Продолжение частично определенных операций

§ 7. Реализация продолжений некоторых частично

определенных операций. Квазипополнимость Шсходимостных векторных пространств

ЦИТИРОВАННАЯ ЛИТЕРАТУРА

Предельный переход играет важную роль в анализе. Поэтому представляет большой интерес изучение абстрактных сходимостных пространств. Среди сходимостных пространств особо выделяются так называемые аострактные секвенциальные сходимостные пространства, т.е., грубо говоря, пространства, где указаны сходящиеся последовательности и их пределы. Их особенности в том, что: а) многие объекты анализа по сути есть секвенциальные сходимостные пространства;

б) они являются наиболее простейшими оходимостными пространствами;

в) секвенциально-сходимостный язык прост, понятен, а для численно« реализации многих математических результатов секвенциальный язык просто необходим.
Понятие абстрактного секвенциального сходимостного пространства восходит к М.Френе /'28/. Идеи М.Фреше дальше были развиты в работах П.О.Александрова и П.’С.Урысона /I/, П.С.Урысонэ /26/.
Если говорить о теории абстрактных (не обязательно секвенциальных) сходимостных пространств, то нужно отметить, что существуют два очень близких способа введения сходимостного пространства. При первом способе дается сходимость направленностей (сетей). Этот способ возник в работе Мура и Смита /17/. При втором способе дается сходимость при помощи фильтров, определение которого восходит к А.Картану.
Существуют много работ посвященных сходимостным пространствам, определенных тем или иным способом, например Кук и Фишер /15/,
Кент /16/, Фишер /27/, шоке /40/, Тейлор /25/, Фрёлихер А. и Бухер в. /29/, &о}10п я/6/, Сак кг 5., О'Мж W , К п.т С.
/7/ и другие.
Своё дальнейшее развитие теория секвенциальных сходимостных

пространств получила в работах Кисинского /IX/, Каминского /9,10/,| Гёца /5/, Новака /18,19/, Дадли /8/, Фрика /30,31/, Чересиза В.М. /38,39/, Сарымсакова Т.А. и Хаджиева Дж.Х. и Худаибердыевэ В.Н. /33/, Худайбердыева В.Н. /35,36/ и др. Отметим также недавнюю работу Ничардсона /22/, в которой изложены некоторые применения теории секвенциальных сходимостных пространств к задачам теории вероятностей.
Вопросы, изучаемые в настоящей диссертации, в основном связаны со секвенциальными сходимостными пространствами.
В диссертации рассматриваются следующие вопросы:
1) описание элементов полугруппы симметрий некоторых сходимостей;
2) Конечномерные сходимостные векторные пространства над сходимостными телами, а также некоторые классы бесконечномерных сходимостных векторных пространств;
3) Компактные сходимостные монотетические полугруппы;
4) Продолжение частично определенной операции, заданной в некоторой универсальной алгебре.
Каждый метод суммирования рассходящихся рядов может быть рассмотрен как секвенциальная сходимость. В работе описаны элементы полугруппы симметрий для некоторых классов таких сходимостей ( в частности для сходимости по Чезаро).
В каждом векторном пространстве над секвенциальным сходимост-ным телом можно определить естественную векторную структуру сходимости. Выделен естественный класс секвенциальных сходимостных тел, включающих в себя все полные нормированные тела. Найдено необходимое и достаточное условие совпадения произвольной секвенциальной векторной структуры сходимости в конечномерном векторном пространстве над такими сходимостными телами, с естественной векторной структурой сходимости этого векторного пространства. Доказана един-

Если при каждом 1Т1 ^ N Х+^тУФ X , то существует такой Х^У , что Х+сС^Х^Ф X .Но 0С+<*кхп *х
и ХеГ , поэтому, начиная с некоторого номера Х+Ф^Х^Х
Таким образом в этом случае В(Х)=Х.
Положим теперь В(Х)=Х,^Х , Хп—и Х+А[сХ, где <ЬФ-0 щ Тогда X иХ^-Х) ?0 и поэтому сС 1(Хп~Х)^'/, начиная с некоторого номера, т.в. X »начиная с некоторого номера, что и требовалось доказать.щ
Из предложения 4.9 следует, что если ОФ^-ц *0 , то
образуют базу окрестностей нуля в Т . Поэтому другими словами предложение 4.8 означает непрерывность сложения в К относительно 'Г . Покажем непрерывность умножения относительно Т . Пусть сС В (V) окрестность
1 оСфО .Покажем (^+ для некоторого Шб// .Если бы это не было так, что существовали бы с/} { ^ с V , для которых
(К^+^Х^Кд + С^лх,^)^ (В(У)) . ц0 этого не может быть,
поскольку и поэтому
начиная с некоторого номера. Непрерывность операции взятия ооратного легко проверяется. Наконец отметим, что по теореме Кисинского (см. § I) индуцированная топологией Т сходимость в К совпадает с исходной сходимостью. Впрочем, в нашем случае это легко проверяется. Теорема 4.7 полностью доказана.щ
ТЕОРЕМА 4.11. Пусть (Е,А) - ненулевое локально ограниченное сходимостное векторное пространство с ^ -свойством над сходимостным телом К , обладающим также ^ -свойством и в котором существует ОФ ^0 Тогда: