Пространства модулей модельных поверхностей в комплексной геометрии вещественных подмногообразий

• Автор: Мамай, Игорь Борисович
• Шифр специальности: 01.01.01
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2013
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 96 с. : ил.

Оглавление
Введение

1 Модельные поверхности СК-типа (1. К) при 8 < К < 12

1.1 Приведение уравнений

1.2 Алгебра автоморфизмов

2 Пространство модулей модельных поверхностей

2.1 Случай К =

2.2 Случай К =

2.3 Случай К =

2.4 Случай К —

2.5 Случай К =

2.6 Двойственность
2.7 Общий случай для СИ-типа (1, К)
3 Алгебра Леви-Танаки модельной поверхности
3.1 Случай 1 =
3.2 Случай £ =
3.3 Случай модельной поверхности СИ-типа (1,12)
Список литературы

Введение
Многие задачи комплексного анализа органично связаны с вещественными подмногообразиями комплексного пространства. Это справедливо по отношению к одномерному комплексному анализу, где вещественные кривые — это границы областей и контуры интегрирования. Но в еще большей мере это относится к многомерному комплексному анализу, где ситуация, с геометрической точки зрения, гораздо разнообразнее. Вещественные подмногообразия вещественной коразмерности один — это топологические границы областей. По отношению к биголоморф-ным отображениям не все точки топологической границы равноправны. Там содержатся особые подмногообразия, например, граница Шилова, которая может иметь более высокую коразмерность. Вещественные подмногообразия возникают также в связи с голоморфными действиями вещественных групп Ли, как орбиты таких действий. Область математики, которая лежит на стыке многомерного комплексного анализа, дифференциальной геометрии и теории групп и алгебр Ли и которая изучает свойства вещественных многообразий, инвариантные по отношению к голоморфным заменам, называется "СИ-геометрия".
В изучении СИ-геометрии выделяют несколько подходов. Дифференциально-геометрический подход использовали Э. Картан,
Н. Танака, С. Черн и др. Аналитический подход использовали А. Пуанкаре, Ю. Мозер и др. Впервые аналитический подход применил А. Пуанкаре (см. [21]) в 1907 году для изучения трехмерных вещественных гиперповерхностей в С2. Еще один подход, получивший название "Метод модельной поверхности" был предложен в работах В. Белошапки [1], [4], [6]. Метод модельной поверхности является развитием аналитического подхода и применим для вещественных подмногообразий произвольной

коразмерности.
Существенной особенностью вещественного подмногообразия М в комплексном пространстве СЛГ при N > 1 является наличие комплексной части в касательном пространстве ТМ — комплексной касательной ТСМ. Комплексная касательная ТСМ может быть определена как пересечение ТМ П 7(ТМ), где J — оператор комплексной структуры (Ту = г ■ у). Если вещественная размерность подмногообразия больше комплексной размерности пространства, то комплексная касательная ТСМ гарантированно будет ненулевой.
Введем необходимые понятия. Гладкое подмногообразие М пространства СЛ? называется порождающим в точке £ € М, если линейная оболочка объединения пространств Т^М и .7(ТсМ) совпадает с объемлющим пространством СА'. Если гладкое многообразие М в СЛГ является порождающим в точке £ £ М, то оно будет порождающим в некоторой окрестности этой точки. Этого будет достаточно, так как в настоящей диссертации рассматривается именно локальная теория вещественных подмногообразий комплексного пространства.
Пусть М — гладкое подмногообразие комплексного пространства, которое является порождающим в точке £. Обозначим через п комплексную размерность комплексной касательной ТСМ. Через К обозначим вещественную коразмерность подмногообразия М. Тогда N = п + К — это размерность объемлющего комплексного пространства. Пару (п: К) будем называеть СИ-типом подмногообразия М.
Перенесем начало координат в точку £ 6 М. Тогда после подходящей линейной замены координат уравнение ростка Мс СИ-типа (п. К) можно записать в следующем виде:
1ту = Ф(г. г., и). (1)

да = С4 + 3Aw2 — 3Bwg + ADw4 + 2 (В + iA)z3,
95 = C5 + ЗВги>2 "l ЗАюз ■ 4Dw§ ~ 2(A — iB)z3,
— Cq + 2Aw2 + 2B1V3 + 4Diug, g~i = C7 + 2ci2Bw2 + 02Citi>3 + (4A — 02^ — 2û.iB)tü4+
+(—45 + 2ßiA + 025)105 + (60-15 — 2o2A)wß+
--5Dwj + 209(21 — iB)wZ' + 2(5 + zA)z4 , gs = Q + 2(BRe/? + АІт/3)ги2 + Cßmßw2 + CjReßwg+
+(45 — 2 ЪВ + ARe/3 + ВІт/3)го4 + (4A + 26A + BReß — Amß)wa+ +(6 bB — 2AReß + 2Blmß)iue + 5Dwg + 2/+oi7(A — iB)z2 + 2(A — iB)z4. 59 = Cg + 2(BRe7 + Alnry)«;2 + Cilirryw^ + CiRe7i03+
+(2A — 2cB + ARe7 + Rlnry)^ + (25 + 2cA + BRe7 — Am^)wa+ +(6A + 6 cB — 2ARe7 + 2BIni7)tU6 + 5 Dwg + 27(A — iB)ruZ2.
К = 10 :
/ = А + iB + 5z,
91 = Ci + 2Dw + 2(5 + iA)z,
52 = C2 + 4Aîui + 3Dw2 + 2(5 + гА)г2,
9з = Сз + 4Вгоі + 3Dwg + 2(A — iB)z2,
54 = C4 + 3Au>2 — ЗВ103 + 45г«4 + 2(5 + iA)z3,
95 = Сь + ЗВгог + ЗАгоз + ADw$ + 2(A — iB)z3,
Qq — C§ 4- 2A.W2 ~~ -Ь 4Dwq.
97 = C7 + 2aAw + aCW2 + (4 A + aB)u>
+(45 + аА)го5 + 2aBwa + 55u>7 + 2 a(B + iAjiojz2 + 2(5 + iA)z4,