Cm-продолжение субголоморфных функций с замкнутых областей в С

• Автор: Зорина, Ольга Александровна
• Шифр специальности: 01.01.01
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2006
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 49 с.

Глава 1. Непрерывное продолжение субголоморфных функций с замкнутых кругов

§1.1. Субголоморфные функции и их свойства

§1.2. Формулировка и доказательство теоремы 1

§1.3. Замечания

Глава 2. Ст-продолжение субголоморфных функций с замкнутых жордановых областей

§2.1. Формулировка теоремы 2

§2.2. Теорема о сопряженной гармонической функции

§2.3. Доказательство теоремы 2

§2.4. Примеры и следствия теоремы 2

Список цитированной литературы

Вначале приведем результат Дж. Вердеры, М.С. Мельникова и П.В. Парамонова, позволяющий понять: какой тип задач рассматривается в диссертации.
Теорема ВМП ([1]). Пусть В — открытый шар в МЛГ. Тогда всякую субгармоническую в шаре В функцию д £ С1 (В) можно продолжить до субгармонической функции С? £ С^М^) с оценкой равномерной нормы ее градиента: ||УС?||клг < сЦУ^Цд-, где с £ (0,+оо) зависит только от N.
Перейдем к общей постановке задач нашей тематики (см. [2]). Пусть Ь — однородный эллиптический дифференциальный оператор в в частных производных с постоянными комплексными коэффициентами. Обобщенная функция / называется Ь-субаналитической на открытом множестве П С М^, если всюду в П выполняется неравенство I/ > 0 в обобщенном смысле. Через Ь+{П) обозначим класс Т-субаналитических на О (обобщенных) функций, причем, если Ь имеет вещественные коэффициенты, то будем считать, что класс Ь+(П) состоит из вещественнозначных обобщенных функций. Так, при Ь = Д (оператор Лапласа) получаем: Ь+(и) = 5Я(Г2) — класс субгармонических функций, а при Ь = д/дг (оператор Кошн-Римана в К2) Т+(П) = Л+(П) — класс субголоморфных функций (последний термин введен в работе автора [21]).
При т £ {0,1,... } через ВСт{ф1) обозначается класс всех комплекснозначных функций /, имеющих непрерывные ограниченные частные производные (по вещественным переменным) в П до порядка т включительно. При нецелых положительных т = [т] + р (где [т] — целая часть т) через ВСт(£1) обозначается класс функций / £ ЯС'^(П), у которых все
1 Работа выполнена при поддержке Российского Фонда фундаментальных Исследований (проекты №00-01-00618 и №04-01-00720) и программы "Ведущие научные школы Российской Федерации” (проект НШ-2040.2003.1).
частные производные порядка [т] принадлежат замыканию в BLipt‘(Q) пространства С°°(К^)|п. Нормы Ц/Цт,п в пространствах ВСт{О) определяются стандартным образом. Для произвольного т > О обозначим через Cm(fi) класс всех функций / в О, таких, что / G ВСт(Е) для любого ограниченного открытого множества Е с условием Е С О. Пространства С(О) стандартным образом наделяются топологиями Фреше. Пусть X — компакт в RN, через Ст(Х) обозначим класс функции / на X, которые допускают продолжения до функций класса BCm(RN). Норма ||/||т,л' в пространстве Ст(Х) равна inf{||F||m IRjv}, где указанный infimum берется по всем возможным продолжениям F € £Cm(RjV), Fх = /- Подробные определения всех перечисленных пространств и их норм приведены в §2.1 (главы 2) диссертации.
Задача 1. Каковы условия на компакт X (с внутренностью Х°) в MN и (/пункцию / G L+(X°) Г) Сга(Х), необходимые и достаточные для существования функции F G L+(Rn) П Cm(RN) такой, что F|x = /•
Задача 2. Каковы условия на компакт X в RN необходимые и достаточные для того, чтобы для всякой функциии / G L+(X°) П Ст(Х) нашлась F G L+(RN) П Ст(RiV) такая, что Fx = f ■
Отметим, что задачи 1 и 2 существенно упрощаются, если ограничиться функциями / G L+(U) П Cm(U), где U — зависящая от / окрестность компактаХ (см. [3]).
Насколько известно автору, задачи 1 и 2 пока рассматриваюсь только для классов субгармонических функций (см. работы [1], [4], [о] и литературу в них) и для классов субголоморфных функций (см. [Z1] и [Z2]).
В работе М.С. Мельникова и П.В. Парамонова [4] получен аналог теоремы ВМП для двумерных областей типа Дини-Ляпунова. Напомним, что жорданова область D С С называется областью типа Дини-Ляпунова, если некоторое (а, значит, любое) конформное отображение к области