Экстремальные свойства алгебраических многочленов в пространстве L0 на отрезке

• Автор: Глазырина, Полина Юрьевна
• Шифр специальности: 01.01.01
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2005
• Место защиты: Екатеринбург
• Количество страниц: 66 с. : ил.

Список обозначений Введение
1 Неравенство разных метрик (неравенство Никольского)
2 Неравенство братьев Марковых в Ьо
3 Неравенство Маркова-Никольского
4 Неравенство треугольника в Ьо Список литературы
Список работ автора
Список обозначений
С — комплексная плоскость С — расширенная комплексная плоскость
Р„ — множество алгебраических многочленов степени не выше п с комплексными коэффициентами
Т> — подмножество Тп многочленов степени точно п со старшим коэффициентом равным единице
Тп — множество тригонометрических полиномов степени не выше п с комплексными коэффициентами
МЧгР(п, к) — точная (наименьшая) константа в неравенстве Маркова-Никольского для пары пространств Ья, Ьр на отрезке на множестве Тп Мд(п,к) = Мяа(п, к)
М?[о,2,г]{п,к) — точная (наименьшая) константа в неравенстве Бернштейна для пары пространств Ьд, Ьо на единичной окружности на множестве Тп
эе(п) — точная (наименьшая) константа в неравенстве треугольника в пространстве Ьо на отрезке на множестве Тп
Рп(х-,а), а > —1, — (ультрасферические) многочлены ортогональные на отрезке [—1,1] с весом (1 — ж2)“, стандартизованные так, чтобы
/(п) х д{п) — для двух неотрицательных функций / и д, определенных на множестве натуральных чисел, этот символ означает, что существуют абсОЛЮТНЫе КОНСТаНТЫ Щ, С2, 0 < С < С2 < оо, со свойством С1д(п) ^ /(п) ^ С2д(п) при всех натуральных п
<€[-1,1]
р.(1;») = СГ)
1. Пусть Lg, 0 < q < оо, есть пространство функций /, измеримых с суммируемой степенью |/|9 на интервале (—1,1), L<*, — пространство измеримых существенно ограниченных на (—1,1) функций, а Lo — пространство измеримых функций, у которых суммируем 1п+ |/] = ln(max(l, 1/1))- На этих пространствах рассмотрим функционалы
11/11« = fj/j 1/(01**) , 0 < g < оо;
ll/lloo = ess sup|/(i)|;
<6(—1,1)
ll/îlo = exp ^ J^a.f(t)dtj
Может случиться, ЧТО ДЛЯ f Е Lq функция In 1/1 не является суммируемой, а точнее, (неположительная) функция In- |/| = ln(min(l, |/|)) не является суммируемой (например, / обращается в нуль на множестве положительной меры), в этом случае полагаем ||/||о = 0. Перечислим основные свойства функционала || • ||о:
(!) ||/||о ^ 0; ]|/||о = 0 <£> fE In- l/l dt = —оо;
(2) положительная однородность 11“-/Но = М • ||/||о, а Е С;
(3) «обратное» неравенство треугольника
||/||о +Iloilo < II1/1 + Ы По ;
(4) мультипликативность
11/‘3||о = ||/||0 • |Ы1о, |||/|*||о< II/H8;
(5) если ||/||ÿ конечна для некоторого q > 0, то ||/||о ^ ||/||д> кроме того
ll/lb = ||/||9. (0Л)
выпукло вверх. Для этого определим знак а"
а"(г) = [а + ~ ((** - г)Рф*) + *Р19(0))^ р - г\'1' +
+ 2Ц-г\'^(Р171(0)-Рф*)).
Выражение + |г ((л* — г)Р2д(г*) + *Р1д(0))^ ^ 0, так как это линейная неоднородная функция переменной *, которая в точках 0 и г* принимает положительные значения а + /ЗР2д(г*) и а + (ЗР^О). По лемме 10 Р ~ 4% ^ °> Р ~ 2Щ ^ °> и наконец, разность РпрО) - Ргр-г*) < 0= поэтому а"(г)
е. Итак, мы доказали, что в области Рп (В = {г : И.е г ^ 0, 1т * ^ 0}) функция Р достигает своей верхней грани. Если Е* = (*х *„) 6 Рп — точка максимума Р, то все координаты ге = г* € [0, 9, где в есть некоторое число из интервала (0,1), определенное формулой (3.16). Кроме того, из (3.12) и (3.13) следует, что в этом случае
р,г.) = м1т = "! 11*---’ИГь
( } м( 1 (п - *)! ||(-г*||8 '
Поэтому
! и
М1(п, к) = эир М(^) = тах -—П~ — # = (п — к)д.
{ ' лес» ^ ' *М (п - к) ||« - г||5 к >ч
Исследуем функцию ||« — -г||£~*/Р — *||5 на отрезке [0,0]. Докажем, что максимум достигается в единственной точке и найдем, когда она равна нулю. С этой целью вычислим
- 4Гк _ (п - Ар Ц« - 4|^Р - гЦ1 - р - Д|Г*| Ь (Й)
) ¥~4%
Знак производной совпадает со знаком выражения
ц(г) = (п - к) р - л||1 - ||« - *||~ 1п
Повторяя рассуждения пункта 6, заключаем, что на [0, в] эта функция строго выпукла вверх. В случае <7 = оо (<7 = оо) /ДО) = п — к > 0,