Нелинейные уравнения с монотонными операторами

• Автор: Ле Тхи Тхиен Хыонг, 0
• Шифр специальности: 01.01.01
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 1985
• Место защиты: Воронеж
• Количество страниц: 136 c. : ил

§ I. Существование неподвижных точек монотонных операторов

§ 2. Существование положительных собственных векторов монотонных операторов

§ 3. Заполнение позитивным, спектром положительного монотонного оператора промежутка
§ 4. Существование непрерывных ветвей положительных собственных векторов вогнутых операторов
§ 5. Сходимость метода последовательных приближений в теории нелинейных уравнений с монотонными операторам. . . III
§ 6. Задача о динамике доходов при внешних расходах / задача математической экономики
ЛИТЕРАТУРА

В работах М.А.Красносельского [ 42-50г 20-22 ] * И.А.Бахтина [ I-I6, 18-30, 76 ] и ряда других математиков [ 31-35, 51-52 г 54, 56-59 , 61-76 ] развита глобальная теория положительных решении нелинейных уравнении с монотонными операторами в банаховых пространствах [ 39,41,53 ] с конусами. Одним из важных ее разделов, получивших наиболее плодотворное развитие, является теория нелинейных уравнении с вогнутыми операторами.
Теория положительных решений с монотонными и вогнутыми операторами нашла важные приложения как в общей теории операторных уравнении, так и в различных задачах естествознания и , в частности, в теории нелинейных колебаний [ 44-45, 52 ] , в теории нелинейных краевых задач [ 43 ] , в теории устойчивости ( 44 ] , в задаче о формах потери устойчивости стержня переменной жесткости [20,24 ] , в задаче о критическом режиме ядарного реактора [ 6 ] , в математической экономике [ 40,55,70 ] и т.д.
Теория нелинейных уравнений с монотонными операторами разрабатывалась в основном в банаховых пространствах с нормальными конусами. При этом, как правило, предполагалось, что оператор оставляет инвариантным некоторый конусной отрезок.
Принципиально новый шаг в развитии теории нелинейных уравнений с вогнутыми операторами сделали И.А.Бахтин [ 26-30 ] , Т.В.Токарева [ 68 ] и Чыонг Суан Дык Ха [ 7L-73 ] ,. которые отказались от. требования нормальности конуса [ 18-19, 36-37, 43, 5г]
Необходимость дальнейшего развития теории положительных решений нелинейных уравнений с монотонными и вогнутыми операторами в банаховых пространствах с конусами, не обладающими свойством нормальности, в частности, обуславливается тем обстоятельством, что во многих естественных функциональных пространствах конус неотрицательных функций не обладает свойством нормальности. Так, напри-

мер, в пространствах 'і) непрерывно дифференцируемых на отрезка функций, в пространстве
функций ограниченного изменения на отрезке [0, 4 ] , в пространствах Соболева А/рР [ 60 ] , суммируемых по модулю вместе со своими обобщенными производными t -порядка со степенью
функциями в некоторой ограниченной области О- УХ -мерного евкли-

дова пространства К , конус неотрицательных функций не обладает свойством нормальности.
Настоящая диссертация посвящена дальнейшему развитию теории положительных решений нелинейных уравнений с монотонными и вогнутыми операторами в вещественных банаховых пространствах с экстремальными и произвольными конусами.
Непрерывность по норме, компактность и существование инвариантного конусного отрезка для оператора, как правило, не предполагаются.
При каждом из предположений:
I/ монотонный оператор Я 0 -непрерывен [ 38 ] , конус УсЕ к -экстремален [ 18 ] ;
2/ оператор Л равномерно К -вогнут, при некоторых >0 и £0> 0> из последовательности
2п = Х'А2п-'1 ("71€
можно извлечь О -сходящуюся подпоследовательность [ 38 ];
3/ оператор Я Ц}-вогнут, конус У а. -экстремален [ 18 ] ,
исследованы вопросы существования неподвижных точек, положительных собственных векторов операторов, заполнения позитивным спектром оператора промежутка, существования непрерывных ветвей положительных собственных векторов операторов; обоснована сходимость метода последовательных приближений в теории нелинейных уравнений с монотонными операторами. Наконец, некоторые из полученных ре-

Ограниченность по норме последовательности / 22 / установлена. Так как последовательность (яп) С Ц возрастает и ограничена по норме, то в силу сС -экстремальности конуса N существует элемент
~ (%}71) '■
Очевидно, (пб1Н) и, значит, в силу монотонности
оператора Я
яп+4 = Я%п £ (neN).
Поэтому, переходя здесь к супремуму, мы получим, что
*, £ А Я* • /24
Обозначим через tn максимальное число, при котором
~ О '
Очевидно, tyi - А ив силу £СП; <3?^ £ k (XJ число ^ > О . Далее, так как
^71-Н Ь ^
^ freW).
Поэтому в силу возрастания и ограниченности сверху последовательности (kn ) существует предел
У = &7Я ^ А .
Число у — А . Допустим, что 7$ < А . Тогда в силу Ца
вогнутости оператора Я существует число £ > О , такое, что
> (4+%)tJsen Ъ(4+%) У#*
Поэтому
=Ахп » Мп^ aj>
» Ъ(41-%) in% (neN)
и, значит,
Чич (neN).
Таким образом,