Многочлены Чебышева с нулями на дуге окружности и смежные вопросы

• Автор: Рыбакова, Наталья Николаевна
• Шифр специальности: 01.01.01
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2009
• Место защиты: Красноярск
• Количество страниц: 78 с. : ил.

Содержание
Введение

Глава 1. Предварительные сведения

§ 1. Свойства многочленов Чебышева

§ 2. Сведения об оптимальной экстраполяции с дискретного

множества по точным данным

§ 3. Сведения об оптимальной экстраполяции с дискретного

множества по приближенным данным

§4. Сведения по функциональному анализу

Глава 2. Многочлены Чебышева с нулями

на дуге окружности

§ 1. Об одном приложении полинома
Чебышева с нулями на компакте в С
§ 2. Постановка задачи
§ 3. Случай полиномов с вещественными коэффициентами
§ 4. Необходимые свойства экстремальных
функций в задачах А и В
§ 5. Основная теорема
§6. Альтернативное доказательство теоремы 2.3 при а < §
§ 7. Комментарии к главе 2
Глава 3. Характеристики наилучшего аналитического продолжения с дискретного множества в заданную точку в пространствах Харди и Винера
§1. Оценка оптимальной погрешности экстраполяции с конечного множества в классе Винера

§2. Оптимальная погрешность в задаче аналитического продолжения функций из класса Харди с конечного множества 59 §3. Задача оптимальной экстраполяции по приближенным
данным в классе Харди
Приложение
Список литературы

Введение
Задачи на минимакс и, в частности, описание полиномов, наименее отклоняющихся от нуля на компактах комплексной плоскости (полиномов Чебышева), играют важную роль в теории приближений и в смежных с ней разделах математики (см., например, [13], [18], [28]). Для случая, когда рассматриваются полиномы с нулями на фиксированном компакте К в С, они применяются при изучении свойств трансфинитного диаметра К [8].
В диссертации рассматривается подобная задача на минимакс в классе полиномов. Она возникает при экстраполяции целых функций класса Винера с конечного множества (т.е. множества, состоящего из конечного числа точек). Показатели многих процессов являются аналитическими функциями из определенных классов, причём входная информация об их поведении задаётся в виде значений показателя в конечном числе узлов. Такая информация может быть точной или приближенной. При этом типичная проблема заключается в нахождении оптимальной оценки наилучшего аналитического продолжения функции с конечного множества в какую-либо точку области ее определения, где измерения не производились. Аналогичный вопрос естественно рассматривать и для некоторого компакта. Тогда возникает задача о равномерной экстраполяции с конечного множества в рассматриваемом классе функций. Более
Доказательство. Формулы (2.3) и (2.10) определяют взаимно однозначное отображение А : ф„(а) —* р„(а), А(Рп) = рп, причем (см. (2.7)) ||Дг||а — ||4(Лг)||а- ПоЭТОМу Еп{а) — еп(а). РаССМОТрИМ МНОЖвСТВО
Ка = {(<Дъ ч>п) е мп : -а<(р 1 < каждый элемент которого является генератором нулевого множества некоторого многочлена рп £ рп{ос) (см. определение 2.1). Из формулы (2.9) заключаем, что норма ||р„|| := , <рп), заданная на р„(а),
непрерывная положительная функция с областью определения Ка. Но Ка - компакт в Кл. Поэтому в равенстве (2.14) точная нижняя грань достигается в некоторой точке множества Ка, являющейся генератором нулевого множества экстремальной функции 1п £ р,г(а), т. е. ||£,г.||а = еп(а). § 3. Случай полиномов с вещественными коэффициентами
Исследуем решение задан А и В для подкласса 9гп(«) С фДа) полиномов с вещественными коэффициентами. Оно сводится к классической задаче Чебышева о многочлене, наименее отклоняющемся от нуля на отрезке [—1,1].
Пусть Рп - произвольно фиксированный элемент 91п(а). Тогда нулевое множество Рп может содержать лишь пары комплексно-сопряженных чисел, принадлежащие дуге окружности Га (см. (2.1)), суммарная кратность которых равна п. Согласно формуле (2.4) след на [—а, а] тригонометрического многочлена рп, ассоциированного с полиномом Рп, имеет вид

, М < а, (2.15)

(2.16)