Обратная задача для дифференциальных операторов высших порядков с особенностью

• Автор: Кудишин, Павел Михайлович
• Шифр специальности: 01.01.01
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 1999
• Место защиты: Саратов
• Количество страниц: 108 с.

Оглавление
Введение
Глава I. Дифференциальные уравнения с регулярной особенностью
§ 1. Краевые задачи для дифференциальных уравнений с особенностью
§ 2. Теорема равносходимости
§ 3. Постановка обратной задачи. Спектральные данные
§ 4. Теорема единственности решения обратной задачи
Глава II. Решение обратной задачи
§ 1. Вспомогательные утверждения
§ 2. Основное уравнение обратной задачи
§ 3. Алгоритм восстановления дифференциального оператора по спектральным данным
§ 4. Необходимые и достаточные условия на спектральные данные
Литература

Введение

Обратная задача спектрального анализа заключается в определении операторов по некоторым их спектральным характеристикам. Подобные задачи возникают в различных областях естествознания, например, в квантовой механике при определении внутриатомных сил по известным уровням энергии, в радиотехнике при синтезе параметров неоднородных линий передач, в теории упругости при определении размеров поперечных сечений балки по заданным частотам ее собственных колебаний, в геофизике, в метеорологии и т.д. Обратные задачи играют важную роль и при интегрировании нелинейных уравнений математической физики. Интерес к обратным задачам постоянно растет благодаря появлению новых важных приложений в естественных науках, и сейчас теория обратных задач интенсивно развивается во всем мире.
Наиболее полно изучены обратные задачи для дифференциального оператора Штурма-Лиувилля
-у" + я{х)у (0.1)
Первый результат в этом направлении принадлежит В.А.Амбарцумяну [72], который исследовал исключительный случай восстановления потенциала д(ж) по спектру. Дальнейшее развитие теория обратных задач получила в работе Г.Борга [76]. Он доказал единственность восстановления функции д(ж) на конечном интервале по двум спектрам дифференциального оператора Штурма-Лиувилля с одним общим краевым условием. Аналогичный факт был установлен Н.Левинсоном [83], но для других спектральных характеристик. В работе А.Н.Тихонова [52] получена теорема единственности решения обратной задачи Штурма-Лиувилля на полуоси по заданной функции Вейля.
Важную роль в спектральной теории дифференциального оператора Штурма-Лиувилля сыграл оператор преобразования. К решению обратной задачи оператор преобразования первым применил В.А.Марченко [30], [31]. Он доказал, что дифференциальный оператор Штурма-Лиувилля, заданный на полуоси или конечном отрезке, однозначно определяется заданием спектральной функции.
Более сложной задачей является построение конструктивной процедуры восстановления дифференциального оператора и описание необходимых и достаточных условий на спектральные данные. Эти вопросы исследовались в работах М.Г.Гасымова, И.М.Гельфанда, М.Г.Крейна, Б.М.Левитана, Ф.С.Рофе-Бекетова, Л.Д.Фаддеева и других [4], [И], [13], [21] - [24], [30] - [34], [45], [54], [55], [75], [78], [80] - [82], [85].
Многие приложения теории обратных задач связаны с дифференциальными

операторами высших порядков с интегрируемыми коэффициентами

у(п) + 2р:{х)уЬ] (0.2)

В сравнении с дифференциальным оператором Штурма-Лиувилпя, обратная задача для операторов (0.2) сложнее для изучения. В различных постановках она исследовалась в [25] - [28], [47] - [49], [57] - [59], [62] - [66], [68], [70], [73], [74] и др. В работах А.Ф.Леонтьева [29], В.И.Мацаева. [35], М.К.Фаге [53], А.П.Хромова [60] выяснено, что оператор преобразования при п > 2 имеет более сложную структуру, что затрудняет его использование для решения обратной задачи. Однако в случае аналитических коэффициентов [47], [56] операторы преобразования имеют такой же треугольный вид, как и для дифференциального оператора Штурма-Лиувилля. В частности, М.Г.Гасымов [10], Л.А.Сахович [47] - [49], И.Г'.Хачатрян [57], [58] исследовали обратную задачу восстановления самосопряженных дифференциальных операторов на полуоси по спектральной функции, а также обратную задачу рассеяния с помощью ’’треугольного” оператора преобразования.
В работах З.Л.Лейбензона [25]-[28] исследовалась обратная задача для дифференциального оператора (0.2) на конечном отрезке при условии ’’разделенно-сти” спектров. З.Л.Лейбензон предложил эффективный метод решения обратной задачи, основанный на исследовании отображений пространств решений, связанных со спектральными свойствами операторов, и являющийся развитием идей
Н.Левинсона [83]. Полное решение обратной задачи для конечного отрезка, полуоси и оси получено в работах В.А.Юрко, Д.ВеаЬ, Р.БеШ., С.Тотец ХХЬои [62]-[66], [68], [70], [73], [74], [79], [90] - [92].
Большое число работ посвящено обратным задачам для уравнений в частных производных, например работы Ю.Е.Аниконова, Ю.М.Березанского, А.Л.Бухгейма, И.А.Васина, В.В.Дубровского, А.Б.Костина, Л.П.Нижника, А.И.Прилепко,
В.Г.Романова, В.А.Садовничего [1] - [3], [5], [15] - [17], [38], [41] - [44], [86].
Данная работа посвящена исследованию обратной задачи для дифференциальных операторов высших порядков с регулярной особенностью

1у = + %(ж)) уи) (0.3)

на конечном отрезке. Дифференциальные операторы (0.3) возникают в различных разделах математики и их приложениях (см. [6], [7], [14], [84] и литературу в них). К уравнениям с особенностью 1у — А у также сводятся многие дифференциальные уравнения с точкой поворота, например, уравнение
= Аг(<)г(), I > 0, г(<) ~ аГ, t —> +0, 7 > 0,

Следовательно,

Ф<_лг>(я, А0) = - УУ Ф<р>(а;5 о)9<-р-дг>(Ао) (Я71<о>(Ао))
р=—АГ+1 О
- Е Ф<Р>(Ж’А о)ЭТ-,л?-1,р(Ао);
р=-Л1+1
б) Пусть при некотором в = з0 , 0 < — 1 и к = з0 + 1,7У справедлива
формула (1.33). Докажем ее справедливость при з
N-5 о
УУ Ф<р>(1 Ао)ШТ<_р-80>(Ао) = 5’<_30>(ж,Ао) = 0.
р=г—N
Пользуясь предположением индукции, получим

°= Е ф<р>(Ао)шг<-р_50>(Ао)-
Р~-эо —5о — 1 N
у > <д> (?'о)1р,50,9(Ао)2Л<—р-5о> (Ло).
р=~N д
Соберем слагаемые при Ф*р>(я, Л0), р = — Зо, N
N-30
0= У~ Ао) I ШТ<_р_5о>(Ло) — У] Ог19?5о,р(Ло)ШТ<_9_з0>(Ло)
р—-зо д
Отсюда следует, что

Ф<-з„>(ж> Ао) = — Е ф<Р>(*>Ао)х
Р=-5о+1
-50-1
ЯЯ<-р-5о>(Ао) — 9г1д>5о,р(Ло)9Я<_д_50>(Л0) ) х
q=-N -50~1
®<о>(Ао) — Е ,-8о(Ао)9<-7-з0>(Ао)

— У 1 Ф<р>(а;5 Ао)ЭТ_50180_1>р(Ао),
р=-50 +
что и доказывает формулу (1.33) при з = Зо — 1 , к = Зо
Пользуясь предположением индукции, при к = з0 + 1, N имеем

Ф<_/ь>(ж, А0) = — Фг)>(а-, А0)01_*,501р(Ао)+
р=-50 +