Изоморфизм пространств гладких функций и теорема вложения

• Автор: Максимов, Дмитрий Васильевич
• Шифр специальности: 01.01.01
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2006
• Место защиты: Санкт-Петербург
• Количество страниц: 85 с.

§0. Введение

Глава 1. Изоморфизм пространств гладких

функций

§1. Предварительные сведения

§2. Частный случай теоремы вложения

§3. Неизоморфность

§4. Набор из одного оператора. I

§5. Набор из одного оператора. II

§6. Другие модели

Глава 2. Теорема вложения

§7. Предварительные сведения

§8. Теорема вложения
§9. Точность условий в теореме вложения
§10. Аналог теоремы вложения для тора
§11. Обобщение на многомерный случай
Список литературы

§0. Введение
Актуальность темы. Теория банаховых пространств насчитывает более чем 70-летшою историю, однако в ней вес еще не решена до конца задача различения основных объектов. В коротком обзоре невозможно осветить всю накопленную к настоящему моменту информацию, поэтому мы ограничимся сведениями о так напиваемых пространствах с «япр-нормой». Прежде всего сюда относятся пространства С(К) непрерывных функций на компактах, а также их «родственники» — например, пространства С^(Е’1) і ра{ непрерывно дифференцируемых функций на п-мерном торс (тор взят просто как простейший приме]) п-мерного компактного многообразия) или пространства Сц((7) функций, аналитических в области С, лежащей в С"', и непрерывных вплоть до границы.
Классическая теорема Милютина 1953 года (доказательство см., например, в [16]) гласит, что пространство С(К) линейно гомеоморфію пространству (7(0,1] для всякого несчетного метрического компакта К. Можно сказать поэтому, что пространство С(К) «не знает ничего» о множестве, на котором заданы составляющие его функции.
В СО-е годы XX века стал популярен следующий вопрос: если определение пространства опирается па более тонкую структуру (например, гладкость или аналитичность), то, может быть,

нространотво «запоминает» хоти бы такой грубый инвариант подлежащего многообразия, как размерность?
Сейчас по этому поводу имеется некая информация, но она явно недостаточна. Например, известно, что пространства Сд(Оп) в полидисках попарно не изоморфны (см. |1|), а про соответствующие пространства в комплексных п-мерпых шарах Вп известно лишь то, что Сл{В) и Са(Вп) не изоморфны при п > 1 (см., например, [8|). Схожая картина имеет место и для пространств гладких функций: неясно, например, изоморфны ли пространства С^^Т2) и С^(Т3). Размерность 1 в этом контексте удалось отличить от высших размерностей (подробности см. ниже), однако в теоремах такого сорта речь идет фактически об отличии пространств гладких функций на многообразии размерности но крайней мере 2 от пространств вида С (К). Впрочем, даже и в такой постановке остаются важные нерешенные вопросы. Таким образом, тема диссертации актуальна.
Цель работы состоит її нахождении условий отсутствия линейного гомеоморфизма между пространствами типа С(К) и пространством гладких функций с кир-пормой, порожденным заданным набором дифференциальных выражений, а также її исследовании теоремы вложения, возникшей для нужд этого доказательства.
Глава 2. Теорема вложения
В первой главе одним из ключевых технических моментов была следующая теорема вложения. Пусть К2).
Обозначим = д2Щ, щ = д2Щ+ — 0^(1 ^ ] ^ £ — 1), <ре = —дщ. Тогда
При £ — 1 эта оценка превращается в двумерный случай
классического неравенства Гальярдо:
однако при больших значениях I она к нему не сводится.
Естественно попытаться обобщить неравенство (*) в следующем направлении: пусть задан набор функций из Х>(Ж2), и пусть имеется набор линейных комбинаций (с фиксированными коэффициентами) частных производных первого порядка от этих функций. При каких условиях ГАнормы данных функций можно оценить через М-нормы упомянутых линейных комбинаций с константой, зависящей только от коэффициентов? В частности, какого количества линейных комбинаций будет достаточно? Оказывается, что при некоторых (довольно легко проверяемых) условиях на коэффициенты такая оценка возможна, если