Трансляционно непрерывные функционалы на пространстве непрерывных ограниченных функций на локально компактной группе

• Автор: Синайский, Евгений Евгеньевич
• Шифр специальности: 01.01.01
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2003
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 179 с.

Оглавление
Предисловие
Введение

Глава I. Финитные и инфинитные функционалы. Носитель функционала

§1. Решеточные операции на пространстве CB(G)'

§2. Финитные и инфинитные функционалы

§3. Носитель функционала

§4. Функционалы на пространстве B(G)

Глава II. Конструкции ТН функционалов и теоремы существования

§5. Покрытия G конечной кратности

§6. Конструкции ТН функционалов

§7. Теоремы существования
§8. Множество значений ЛТН функционалов на данной
функции
§9. Трансляционно разрывные функционалы
Глава III. Функционалы специального вида
§10. Дискретные функционалы
§11. Функционалы с носителем в множестве нулевой меры
Список литературы
Указатель обозначений

Предисловие
Пусть С — локально компактная группа, СВ(С!) — банахово пространство непрерывных, ограниченных функций на группе С со значениями в К, С В (СИ)1 — сопряженное к С В (С) пространство. В пространстве СВ(СУ выделим функционалы, на которых действие группы С? левыми сдвигами слабо* непрерывно. Такие функционалы мы будем называть левотрансляционно непрерывными (НТВ) функционалами, и их изучению посвящена данная работа. Спектр рассмотренных нами вопросов включает в себя общие конструкции таких функционалов, описание замкнутых подмножеств группы (?, которые могут являться носителями ЛТН функционалов, описание множества значений средних, ЛТН функционалов на данной функции, описание некоторых классов трансляционно разрывных функционалов.
В то же время представляет интерес обсудить работы, в которых рассматривались близкие задачи, и которыми, отчасти, мотивировано наше исследование. Поэтому в предисловии вниманию читателя предлагается обсуждение некоторых полученных ранее результатов, имеющих отношение к теме настоящей работы. Сразу сделаем замечание, что по-видимому понятие левотрансляционно непрерывного функционала не рассматривалось до сих пор другими авторами, ввиду чего связь рассматриваемых ими вопросов с нашей задачей будет лишь косвенной.
Одним из наиболее хорошо изученных направлений в математике, близких к теме нашего исследования, является теория аменабельных групп и инвариантных средних ([1], [2]). Для того, чтобы прояснить связь между аменабельностью и трансляционной непрерывностью заметим, что определение левотрансляционно непрерывного функционала (такого функционала Р е С В (С)', что отображение £ е С ь-» Д(*/) непрерывно для любой функции / € СВ(С?)) можно считать обобщением определения левоинвариантного среднего (такого среднего функционала т € СВ{С)', для которого отображение £ е С ь-> т({/) постоянно для

любой функции / € CB(G)). В связи с этим левоинвариантные средние играют важную роль в конструкции JITH функционалов, которая, в частности, проявляется уже в определении функционалов 1-го типа ([7]), в котором участвует инвариантное среднее. Кроме того, условие аменабельности группы как дискретной присутствует в некоторых теоремах существования. Наконец, доказанная в данной работе теорема о множестве значений средних, инфинитных, ЛТН функционалов на данной функции (теорема 8.2) в сравнении с аналогичной теоремой для левоинвариантных средних (теорема 1, [3]) еще раз подчеркивает глубокую связь между ЛТН функционалами и инвариантными средними (более подробно эти два результата сравниваются в §8).
С другой стороны нами были получены новые результаты, относящиеся непосредственно к теории инвариантных средних. К их числу относится теорема 7.2, в которой полностью описаны замкнутые подмножества группы G, являющиеся носителями левоинвариантных средних. Из этой теоремы и результатов §11 вытекает для достаточно широкого класса локально компактных групп существование левоинвариантного среднего с носителем в множестве нулевой меры Хаара, что также является продвижением в данной области.
Рассматривая статьи, в которых изучаются вопросы близкие к вопросу описания ЛТН функционалов, нельзя не остановиться на работе M.Talagrand’a [4], который рассмотрел в некотором смысле противоположную задачу: для каких функций / € L°°[G) отображение t е G 1) существует измеримая по Риману функция h е C°°(G) такая, что {h} = / (гДе W — класс эквивалентности функции h в L°°(G))-,
2) для любого локализуемого функционала <р е L°°(G)' отображение t е G ip(tf) измеримо;

функции / е CB(G) справедливо равенство
lim F(haf) = F(f). (9)

Множество финитных функционалов из CB(G)' обозначим dfm(G). Так сформулированное определение формально зависит от выбора обобщенной последовательности ha, а е А. Далее мы докажем, что различным h<* будут соответствовать одни и те же классы финитных функционалов, но пока будем считать ha фиксированной.
Предложение 2.2. Пусть G — локально компактная группа. Тогда множество финитных функционалов из CB(G)' является замкнутым в нормированной топологии линейным пространством. Также справедливо Соотношение $fi„(G) П Sinf(G) = (0}.
Доказательство. Соотношение (9), выражающее свойство финитности функционала, линейно по F, откуда следует, что dfin(G) есть линейное пространство.
Рассмотрим последовательность функционалов Fn е djin(G), п е N и предположим, что для некоторого функционала F € CB(G)f выполнено равенство lim ||Fn - FII = 0. В силу финитности функционалов
71—>0О
Fn справедливы равенства limFn(/ia/) = Fn(f) для любых п е N и / е CB(G). С другой стороны имеем Fn(haf)-F(haf) < ||Fn-F||-||/|| и IFn(f)~F{f) < ||F„ — F||• ll/ll, а значит lim Fn{haf) = F(haf) равномер-
П—^QO
но по а и lim Fn(f) = F(/). Но тогда применима теорема о повторных

пределах из которой следует, что для любой функции / € CB(G)
F(f) = lim F„(/) = lim lim Fn(haf) = lim lim Fn(haf) = lim F(haf).
n—>oo 7i—>cc а а n—+oc а
Полученное равенство означает финитность функционала F. Следовательно множество $jin{G) замкнуто в нормированной топологии.
Перейдем к доказательству последнего утверждения теоремы и предположим, что F е $fin(G) П 3mf{G). В силу финитности функционала F справедливо равенство F(/) = lim F{haf) для любой функции

/ € CB(G). Но функции ha принадлежат C0(G) при а е А, а значит