Оценки изменения нормального параметра цепей в связи с задачами продолжения голоморфных отображений

• Автор: Кружилин, Николай Георгиевич
• Шифр специальности: 01.01.01
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 1984
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 68 c. : ил

Глава I. Цепи на вещественно-аналитических гиперповерхностях в комплексном пространстве

§ I. Уравнения строго псевдовыпуклых вещественноаналитических гиперповерхностей

§ 2. Свойства функций перехода при замене локальных

координат

§ 3. Параметризация цепи, определяемая ее наклоном

к комплексной касательной плоскости

Глава 2. Нормальные параметризации цепей и отображения строго псевдовыпуклых вещественно-аналитических

поверхностей

§ I. Цепи и продолжение биголоморфных отображений

§ 2. Оценка изменения нормального параметра

§ 3, Сходимость вещественно-аналитических гиперповерхностей и их отображений

Литература

Изучение вещественных гиперповерхностей в комплексном пространстве размерности, большей единицы, было начато А.Пуанкаре в 1907 г. в работе С153 в связи с проблемой классификации
областей в Он поставил задачу исследования как локальной,
так и глобальной биголоморфной эквивалентности гиперповерхностей, а также связи между локальной и глобальной эквивалентностью. Важным результатом Пуанкаре явилось описание им всех локальных би-голоморфных отображений трехмерной единичной сфера из € ^ в себя, которые, как он показал, совпадают с дробно-линейными автоморфизмами единичного шара.
Позднее вещественные гиперповерхности в двумерном комплексном пространстве изучались в 1930-е гг. Сегре [163 и Э.Картаноы [123 . Отметим, в частности, что З.Картан установил существование на всякой гладкой строго псевдовыпуклой гиперповерхности би-голоморфно инвариантного семейства кривых, названных им цепями.
На сфере цепи представляют собой линии ее пересечений с комплексными прямыми. В случае большей размерности пространства гиперповерхности с невырожденной формой Леви исследовались в 1860-е гг. Н.Танакой (си, [172 и [183 ).
В 1974 г. С.Черном и Ю.Мозером в работе [133 было предложено два подхода к изучению гладких вещественных гиперповерхностей с невырожденной шоркой Леви. В рамках одного из них, являвшегося развитием идей Э.Картана, изучалась внутренняя геометрия таких поверхностей. При этом было показано, что на гиперповерхностях в пространстве размерности, большей двух, также можно оп-редлить инвариантное семейство кривых - цепей. Второй подход,

развитый в Г13Л для вещественно-аналитических гиперповерхностей Ю.Мозером, заключался в поиске локальной голоморфной системы координат,в которой поверхность записывается уравнением, имеющим некоторую специальную форму. Оказалось, что цепи можно определять в терминах таких систем координат. При этом на всякой цепи выделяется некоторое семейство параметризаций. Это определение цепей для случая вещественно-аналитической строго псевдовыпуклой гиперповерхности приводится в § I главы I.
В 1974 г. Г,Александер (С8Л ), не зная, по-видимому, работы Пуанкаре, повторил его результат о локально биголоморфных отображениях сферы в себя. Совпадение локальных биголоморфных автоморфизмов сферы с дробно-линейными автоморфизмами ограниченного этой сферой шара вытекало и из работы С13Л , Это вызвало гипотезу о том, что подобным свойством аналитического продолжения обладают произвольные локально биголоморфные отображения одной вещественноаналитической строго псевдовыпуклой гиперповерхности в другую. Однако в работе Д.Бернса и С.Шнайдера С ЮЛ был приведен пример такой гиперповерхности, локально биголоморфно эквивалентной сфере, что некоторое отображение сферы в эту поверхность аналитически не продолжалось.
Существенным продвижением в задаче об аналитическом продолжении отображений строго псевдовыпуклых гиперповерхностей стала работа С.И.Иинчука И7Л , в которой показано, что локально оиголо-морфное отображение вещественно-аналитической строго псевдовыпуклой гиперповерхности М в (Г^не эквивалентной локально сфере, в другую такую же гиперповерхность М аналитически продолжается вдоль путей на М , если М компактна. Из этого результата следует, например, что, если границы двух вещественно-аналити-

но-аналитические гиперповерхности сходятся при к вещественно-аналитической гиперповерхности М.
Будем называть гиперповерхность М несферичной, если не существует биголоыорфного отображения, определенного в окрестности точки (0,1) и переводящего М в сферу
Теорема 3. Пусть М0 , Мл вещественно-аналитические гиперповерхности, причем при р ■“►с>в Проходятся к ^0 ». а Мр- к М 0, Пусть - отображение, определенное и биголоморфное в некоторой окрестности точки [2 в =0, =х ^ (окрестность зависит от р ), оставляющее эту точку на месте и переводящее Мр в Мр, Тогда, если поверхности м0 „ м: строго псевдовыпуклы и несферичны, то существует подпоследовательность [ ^^} и окрестность V точки (0,1) такие, что отображения [ 41 продолжаются в V
1 Зк *
и при К —о-а сходятся равномерно в V к биголоморф-ному отображению , переводящему м0 в м0.
В ходе доказательства теоремы мы окажемся в ситуации, когда ДЛЯ некоторых цепей Ур На ^3» проходящих под малым углом к комплексной касательной плоскости, их образы - цепи ^ на Мр также образуют малые углы с комплексной касательной. Согласно лемме 8, отображение £ • продолжается на отрезок А)(р цепи ^ вдоль которого нормальный параметр изменяется на Нам потребуется доказать, что отображение не может сильно сжать

этот отрезок. Для этой цели мы воспользуемся существованием на строго псевдовыпуклой гиперповерхности инвариантной вещественной 1-формы, введенной С.Вебстером в С211 , С20Д . Напомним определение и некоторые свойства этой формы.
Пусть М- (2П--0 -мерная строго псевдовыпуклая гиперпо-