Краевые задачи для квазиголоморфного вектора

• Автор: Раенко, Елена Александровна
• Шифр специальности: 01.01.01
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2006
• Место защиты: Горно-Алтайск, Новосибирск
• Количество страниц: 98 с.

Глава 1. Об однозначной разрешимости задачи Дирихле для квазиана-литического вектора

§1. Вспомогательные сведения

1°. Пространства типа Банаха, принцип неподвижной точки

2°. Пространства С. Л. Соболева. Потенциальные и сингулярные операторы по области

§2. Уравнения диффузии

1°. Уравнения диффузии

2°. Граничные задачи

§3. Квазилинейная модель

§4. Линейная задача

1°. Постановка задачи

2°. Однозначная разрешимость

3°. Теорема устойчивости
§5. Разрешимость и единственность решений квазилинейной задачи
1°. Теорема существования
2°. Теорема единственности
§6. Однозначная разрешимость квазилинейной задачи Дирихле с квазидиагональными матрицами коэффициентов
§7. Гидродинамическая интерпретация результатов
1°. Перенос примесей фильтрационным потоком
2°. Тепловая двухфазная фильтрация
3°, Сжимаемая жидкость (газовая динамика)
4°. Нелинейная фильтрация
Глава 2. Однозначная разрешимость задачи Дирихле с матрицами коэффициентов
§1. Постановка задачи. Обзор результатов
§2. Уравнения с треугольными матрицами
1°. Разрешимость "треугольной " задачи
2°. Теорема единственности
§3. Уравнения с квазитреугольными матрицами
§4. Неоднородные системы с ограниченными матрицами
* §5. Численная аппроксимация
1°. Постановка задачи
2°. Сеточные уравнения. Сходимость метода итераций
3°. Численная реализация
Глава 3. Гидродинамика тел со струями (схемы Шурыгина)
§1. Введение
§2. Многолистные многоугольники
1°. Постановка задачи
2°. Априорные оценки и локальная единственность решений
§3. Смешанная краевая задача с параметрами

§4. Схемы Шурыгина
1°. Одна свободная граница
2°. Несколько свободных границ
3°. Теорема существования и единственности струйных течений
Глава 4. О разрешимости краевых задач на римановых поверхностях
§1. Вспомогательные сведения
1°. Основные топологические понятия теории римановых поверхностей
2°. Дифференциальные формы
' §2. О разрешимости краевой задачи сопряжения для нелинейного уравнения
Векуа на римановой поверхности
Заключение
Литература

Общая характеристика работы
Актуальность проблемы. Процесс распространения тепла и массопереноса примесей гидродинамическими потоками жидкости в открытых каналах или в пористых средах описывается системами эллиптических уравнений, представленных в комплексной форме. Для таких систем построена теория граничной задачи Гильберта, в значительной мере подобная известной теории для голоморфного вектора.
Диффузионные процессы можно описать абстрактным дифференциальным уравнением второго порядка для вектора (уц,..<рт) концентраций компонент примесей 1рк, к = 1,771—1, и температуры рт потока смеси на плоскости переменных х, у {х = Хи у = х2) ■■

^ {АыФхрк + Ак^хь) + А = О,
1,к
где Аы и Ак матрицы {т х т) диффузионного и конвективного переноса, А — вектор скоростей химических реакций. Без нарушения общности областью определения решений <р можно считать круг К : |г| < П., г = х+-гу, а соответствующие граничные условия однородными.
Наиболее изученной является задача Дирихле (р|ад- = 0 для линейного абстрактного уравнения второго порядка Ь<р — 0, коэффициенты которого зависят только от х, у.
Основным подходом к исследованию этой задачи Дирихле является представление ее решений с помощью какого - либо потенциала и тем самым редукция задачи к уравнению с вполне непрерывным оператором — уравнению Фредгольма [7 - 10|. Безусловная разрешимость задачи Дирихле, как правило, доказывается при очень жестких ограничениях на коэффициенты оператора Ь (вплоть до их постоянства) или на размеры области г < К С 1. Достаточно подробный обзор этих работ можно найти у А.
В. Бицадзе (1966) и К. Миранда (1957). Другой метод доказательства разрешимости
откуда и получим
II и ||оо,п< еМц || и 1100,51, и = (шг, ... ,ып).
Выберем теперь е -С 1, так, что еМц < 1, тогда последнее неравенство возможно лишь при || со ||оо,п= 0-, т.е. при ш = 0 в Г2, а это значит, что чу = чу*. Теорема доказана.