Топологические характеристики локально компактных и уплотняющих отображений банаховых многообразий и их приложения

• Автор: Богачева, Елена Васильевна
• Шифр специальности: 01.01.01
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2003
• Место защиты: Воронеж
• Количество страниц: 75 с.

Содержание
ВВЕДЕНИЕ

I Топологические характеристики уплотняющих операторов на финслеровых многообразиях
§1.1 Конструкция топологических характеристик
§1.2 Пример: Многообразие С1- кривых на римановом
многообразии
II Уравнения нейтрального типа на многообразиях. Оператор сдвига и его топологические характеристики
§2.1 Функционально — дифференциальные уравнения
нейтрального типа на римановом многообразии
§2.2 Оператор сдвига по траекториям ФДУН
III Вычисление числа Нильсена для операторов на функциональных многообразиях
§3.1 Число Нильсена для одного оператора в много-

образии кривых на торе

§3.2 Оператор с ненулевым числом Нильсена, имеющий
нулевое число Лефшеца
§3.3 Интегральные уравнения на торе
§3.4 Вычисление топологических характеристик одного интегрального оператора на многообразии
Литература ТО

ВВЕДЕНИЕ
Изучение топологических характеристик бесконечномерных операторов (вполне непрерывных, слабо непрерывных, монотонных, уплотняющих, фредгольмовых и др.) является одним из основных направлений нелинейного функционального анализа и в течение ряда последних десятилетий активно развивается во всем мире. Рассмотрение отображений нелинейных пространств, в частности, построение и изучение их характеристик, связанных с существованием неподвижных точек, является существенно более сложной задачей, чем для отображений линейных пространств, и поэтому представляет особый интерес. Такие характеристики рассматривались в работах Ф. Браудера (F. Browder) [18], X. Фен-ске (C.Fenske) [21], Г. Фурнье (G. Fournier) [22], Ю.Г. Борисовича, Ю.Е. Гликлиха [10,16,17,23] и др. В них изучены локально компактные отображения, имеющие компактную итерацию или имеющие компактный аттрактор, слабо непрерывные и другие отображения топологических пространств, которые могут быть вложены в некоторое банахово пространство, как окрестностный ретракт.
Выделим особо теорию уплотняющих операторов в бесконечномерных линейных пространствах, созданную в свое время в трудах Б.Н. Садовского [2], Р. Нуссбаума (R. Nussbaum), В. Петришина (W. Petryshin), Ю.Г. Борисовича, Ю.И. Сапронова, М.И. Каменского [11] и многих других, поскольку она существенным образом опирается на понятие выпуклого замыкания и поэтому не перено-

точки х и Х2 переходят в точки х и х2 из классов и ^2, соответственно. Путь, соединяющий эти точки обозначим через и>. Тогда хи оф 0 при гомотопии число Нильсена сохраняется в классе уплотняющих отображений.

Действительно, при уплотняющих гомотопиях индексы сохраняются, и при этом, каждый класс Нильсена неподвижных точек переходит в класс неподвижных точек гомотопного отображения. Таким образом, существенный класс переходит в существенный, а несущественный - в несущественный.
Построенная выше теория включает в себя, как частный случай, теорию индекса для уплотняющих отображений финслеровых многообразий, которые могут быть изометрично вложены в некоторое банахово пространство, как окрестностный ретракт.
Определение 1.1.12 Финслерово многообразие Л4 изометрично вложено гладким вложением г : Л4 —> £ в банахово пространство £, если в каждом касательном пространстве финслерова норма || • ||т совпадает с сужением на это пространство нормы из £.
Простая модификация описанной выше конструкции индекса (т.е., также чисел Лефшеца и Нильсена) позволяет охватить случай, когда отображение Ф : Л4 —» Л4 является локально-уплотняю-щим с компактной итерацией. В этом случае нельзя доказать ком-