Свойства базисности корневых векторов операторов близких к нормальным

• Автор: Джанлатян, Леонид Сергеевич
• Шифр специальности: 01.01.01
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 1998
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 107 с. : ил.

* Оглавление
Основные обозначения, используемые в работе
Введение
§1. Вспомогательные результаты
1.1. Леммы об оценке норм резольвент операторов А и Ао
1.2. Лемма о максимальной функции
1.3. Леммы о подпространствах
1.4. Лемма из теории целых функций
1.5. Геометрическая лемма
1.6. Лемма о базисности Рисса
§2. Случай р{1 — 1 Базисность Бари и скорость сходимости
• рядов со скобками. Асимптотика собственных значений
2.1. Построение системы концентрических окружностей
2.2. Теорема о базисности Бари со скобками
2.3. Оценка скорости сходимости разности рядов
2.4. Асимптотика модулей собственных значений
оператора А
§3. Случай 1/2 < р(1 — суммирование по Абелю
3.1. Лемма о дискретности спектра оператора А
3.2. Оценка норм резольвент операторов А и А0 вблизи
Ф спектра
3.3. Подготовка к делению угла Ла+£
3.4. Построение системы контуров в случае р( 1 — 3.5. Построение системы контуров в случае р(1 — д) <
3.6. Теорема о суммируемости методом Абеля
3.7. Теорема о безусловной базисности
§4. Приложения к эллиптическим псевдодифференциальным
операторам на замкнутом многообразии
Литература

Основные обозначения, используемые в работе
Я — сепарабельное гильбертово пространство.
Ло — нормальный замкнутый оператор с дискретным спектром.
А — оператор, подчиненный оператору Ло в смысле порядка.
ст(Л), АЛ), В а — спектр, собственное значение и область определения оператора Л.
р — порядок роста модулей собственных значений оператора Ло.
9 — порядок подчинения оператора Л і оператору Ло
, 91; — подпространства в Н (линейные оболочки некоторых систем векторов).
Ріі Яі — проекторы Рисса операторов А и Ло.
, &тт' і Ті — положительно ориентированные контуры на комплексной плоскости.
р — константа, определяющая частоту разбиения положительной полуоси на полуинтервалы.
= [/р, (/ + 1)рр) — полуинтервал.
|Л| — оператор, являющийся модулем оператора Л.
— линии (окружности или ломаные), делящие комплексную плоскость на непересекающиеся области.
Яд(Л) = (Л — А/)-1 — резольвента оператора Л в точке А.
0(х, Я) — круг радиуса Я с центром в точке х.
5' = Ц| О(А_,-(Л0), Ь(1 + 5')|А_,(Л0)|9) — объединение кругов, проведенных вокруг собственных значений оператора Л0 (8' 0).
Ка = {А е С : |А| є (р - 8ЬрТ, р + %Л)Ь ¥& = {А Є С : |А| Є Д}
— кольцевые области на комплексной плоскости (д т'< 1 , р € М+, 8 > О, Д — интервал).
.й/(/?) — множество операторов, корневые векторы которых образуют

систему для суммирования методом Абеля со скобками порядка ß.
M — замкнутое многообразие класса С°°.
Ф™Ь(М) — класс полиоднородных псевдодифференциальных операторов на М порядка т.
HS(M) — соболевское пространство на многообразии М. цо — положительная а-аддитивная мера в К71.
(Мцо){х) — максимальная функция меры ро т(Х) — мера Лебега множества X.
L(Ä) — корневое подпространств оператора А, отвечающее собственному значению Л.
Ні + Н2 (Ні ф Н2) — прямая сумма двух (ортогональных) подпространств в Н.
$[Д] — длина интервала (полуинтервала, отрезка) Д.
N[A] — число собственных значений оператора А0, модули которых лежат на Д.
Na0 (Л) — число собственных значений оператора А0, по модулю не превосходящих Л.
— прямая сумма корневых подпространств оператора А, отвечающих собственным значениям, лежащим внутри кольца с границей 5).
Л0+г = {А Є С : |arg А| а + с} — угол раствора 2(ог + е) с вершиной в начале координат.
Г± = {А Є С : |arg А| = ±(<а + £)}, Г = Г+ U — границы угла Ла+е. S(X) — площадь области X.
Е(х) — целая часть числа х.

Тогда достаточно проверить существование точки аг/ € Д;, такой, что / Ро([<*< - Г >011 + г])
(т)Ы = >»р 57 < 2см>-~
при некотором (достаточно малом) С.
Мера но о-аддитивна. Поэтому по лемме
т{хеА1: (Мно){х) > д} го{геД(() : (Мр0)(ж) > р}
<-ро(Л(/)) = ЛГ[Д(0].
Значит,
ш(х 6 Д, : (М„)(х) > 2СМ)_1).1| < 10С1-')-'С31>’.
Здесь мы воспользовались вытекающей из (2.5) оценкой
ЛГ[Д(0] < С31р.
Теперь при
10СС31РР~1 <С1ГР"1,
где С определено в (2.4), точка ощ существует (и множество таких 07 даже имеет положительную меру). Таким образом, достаточно взять С-ССУЮСз. □
Из формулировки леммы 2.1 видно, что на Д/ имеется интервал Д{, свободный от модулей собственных значений оператора А0, длины
*[д;]>с7р(р-1)-1,
серединой которого является точка оц из этой формулировки.
Пусть теперь
р(1-?)>1. (2.7)
Лемма 2.2. Пусть выполнены условия (0.3), (2.1) и (2.7), и пусть р подчинено неравенству
♦ Р> (р(1 -9) - I)“1. (2.8)