Построение точных решений одного класса двумерных интегральных уравнений Вольтерра с особенностями на границе области интегрирования

• Автор: Раджабова, Лутфия Нусратовна
• Шифр специальности: 01.01.01
• Научная степень: Докторская
• Год защиты: 2008
• Место защиты: Душанбе
• Количество страниц: 335 с.

ОГЛАВЛЕНИЕ ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

ГЛАВА 1. ИССЛЕДОВАНИЕ МОДЕЛЬНОГО ДВУМЕРНОГО ИНТЕГРАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ С ГРАНИЧНЫМИ ФИКСИРОВАННЫМИ ОСОБЫМИ И СИЛЬНО-ОСОБЫМИ ЯДРАМИ

§1.1. Слабая особенность по обоим переменным.

§ 1.2. Особенность по обоим переменным.

§ 1.3. Сильная особенность по обоим переменным.

§ 1.4. Слабая особенность по первому переменному и особенность по

второму перемененному.

§ 1.5. Особенность по первому переменному и слабая особенность по

второму переменному.

§ 1.6. Сильная особенность по первому переменному и слабая

особенность по второму переменному.

§ 1.7. Слабая особенность по первому переменному и сильная
особенность по второму переменному.
§ 1.8. Особенность по первому переменному и сильная особенность по
второму переменному.

§ 1.9. Сильная особенность по первому переменному и особенность по второму переменному.
ГЛАВА 2. ИССЛЕДОВАНИЕ НЕМОДЕЛЬНОГО ДВУМЕРНОГО ИНТЕГРАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ С ГРАНИЧНЫМИ ОСОБЫМИ И СИЛЬНО-ОСОБЫМИ ЯДРАМИ, ЗАВИСЯЩИМИ ОТ ПЕРЕМЕННОЙ ИНТЕГРИРОВАНИЯ.
§ 2.1. Слабая особенность по обоим переменным.
§ 2.2. Особенность по обоим переменным.
§ 2.3. Сильная особенность по обоим переменным.
§ 2.4. Слабая особенность по первому переменному, особенность по
второму перемененному.
§ 2.5. Особенность по первому переменному и слабая особенность по

второму переменному.
§ 2.6. Сильная особенность по первом}' переменному и слабая особенность по второму переменному.
§ 2.7. Слабая особенность по первому переменному, сильная особенность по второму переменному.
§ 2.8. Сильная особенность по первому переменному, особенность по второму переменному.
§ 2.9. Особенность по первому переменному, сильная особенность по второму переменному.
ГЛАВА 3. ИССЛЕДОВАНИЕ ОБЩЕГО ДВУМЕРНОГО ИНТЕГРАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ С ГРАНИЧНЫМИ ОСОБЫМИ И СИЛЬНО-ОСОБЫМИ ЯДРАМИ.
§ 3.1. Слабая особенность по обоим переменным.
§ 3.2. Особенность по обоим переменным.
§ 3.3. Сильная особенность по обоим переменным.
ГЛАВА 4. ПРИЛОЖЕНИЕ МОДЕЛЬНОГО ИНТЕГРАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ С ГРАНИЧНЫМИ ОСОБЫМИ ЛИНИЯМИ В ЯДРЕ К ГИПЕРБОЛИЧЕСКОМУ УРАВНЕНИЮ С СИНГУЛЯРНЫМИ ЛИНИЯМИ.
§ 4.1. Интегральные представления, когда коэффициенты уравнения между собой связаны определенным образом.
§ 4.2. Представление многообразия решений при 8 ф -2//, А < 0, и < 0.
§ 4.3. Нахождение многообразия решений уравнения (4.1.1) при А>0, /и> 0, 8 Ф-Х/л.
§ 4.4. Нахождение многообразия решений уравнения (4.1.1) при
/л < О, А > 0, 8 Ф -Х/л.
§ 4.5. Нахождение многообразия решений уравнения (4.1.1) при ц > О, А < 0, 8 Ф -Х/л.
§ 4.6. Граничные задачи.

§ 4.7. Представление многообразия решений уравнения (4.1.1) при (У, ф -Х/и по степеням (Ь - у).
ЛИТЕРАТУРА

где произвольные функции <р1{х),р2{х),у/1{у),у/2{у) при х —> а и у ~Ь
удовлетворяют условиям
(рх{х) = о((х-а)5'), где ёх > а - 1,
Теорема 3.3.2. Пусть функция ф(х,у), ядра К,(х,у;Г), К2(х,у;.у), КЦх,у;/,х), произвольные функции (р(х),2(х),1(у),2(у) удовлетворяют всем условиям теоремы 3.3.1. Тогда интегральное уравнение (3.3.1) в классе С(£>), имеющих нуль порядка больше чем а-1 и /3-1 соответственно на Г и Г2, всегда разреишмо. Общее решение содержит четыре произвольные функции одного переменного и выражается формулой:
где 1(х,у;1), Г, (х,у; .у), Г3 (х,у; I, .у) - являются резольвентами интегрального уравнения со слабой особенностью (3.3.26).
Следствие 1. При выполнении всех условий теоремы 3.3.2. любое решение уравнения (3.3.1) из класса С (В) на Г, и Г2 обращается в нуль. Причём его поведение при х-а, у-+Ь определяется из асимптотических формул:
1/(х,у) = о((х-о)‘5’), 3, > апри х -» а,
и(х,у) = о{(Ь-уУ1), уз ><2-1 при у—>Ь.
Теорема 3.3.3. Пусть в уравнении (3.3.1) Я = К1(а,Ь-а)>0, р=К2(а,Ь;Ь)<0,
К, (а, Ь: а. Ь) -3 = —Л//, /(х,у) е С (О) и в точке (х, у) = (а, Ь) обращается в нуль и его
поведение при х -> а и у —> Ъ определяется из асимптотической формулы.
Ях,у) = о{(х-а)*'{Ъ-уУ'), £>0, 8х>а-1, у, >/3-1.
Функции К,(х,у;/)5 К2(х,у;.у), К3(х,у;/,.у) соответственно по своим
переменным являются непрерывными для всех (х, у) е О и (г, .у) из той же
<рг{х) = 0 (***«)
1(у) = 0 ({Ь-уУ'), где ух>р-1,
х Ь к Ь
а у о У