Сопряженное банахово расслоение

• Автор: Коптев, Александр Викторович
• Шифр специальности: 01.01.01
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 1999
• Место защиты: Новосибирск
• Количество страниц: 101 с.

Содержание
§ 1. Вспомогательные результаты
§2. Гомоморфизмы банаховых расслоений
§ 3. Операторное расслоение
§ 4. Сопряженное банахово расслоение
§ 5. Слабо непрерывные сечения

Введение
Расслоения традиционно используются в математическом анализе для исследования разнообразных алгебраических систем. Техника расслоений применяется при изучении банаховых пространств, банаховых решеток, С*-алгебр, банаховых модулей и др. (см., например, [10,12,13,19-21]). Реализация некоторых объектов функционального анализа в виде пространств сечений соответствующих расслоений послужила основой для самостоятельных теорий. Одна из таких теорий, изложенная в работах [3,14-17], посвящена понятию непрерывного банахова расслоения (НБР) и его приложениям к исследованию решеточно нормированных пространств (РНП). В рамках этой теории, в частности, получено представление произвольного РНП в виде пространства сечений подходящего НБР.
В определенном смысле, НБР над топологическим пространством Q формально отражает интуитивное представление о семействе банаховых пространств [Xq)qQ, непрерывно изменяющихся от точки к точке пространства Q. Точнее говоря, банахово расслоение X над Q представляет собой отображение, сопоставляющее каждой точке q £ Q банахово пространство Х{ц). называемое слоем X в точке q. При этом расслоение X снабжается дополнительной топологической структурой, позволяющей говорить о непрерывности сечений этого расслоения — функций и, определенных на подмножествах Q и принимающих значения u(q) £Е X(q) для всех q £ dom м. Понятие сечения можно считать обобщением понятия вектор-функции: если X — банахово пространство, то X-знатные функций являются сечениями банахова расслоения, все слои которого равны X.
Во многих вопросах анализа существенную роль играет теория двойственности, одним из основных объектов которой является сопряженное пространство (см., например, [6]). Наличие функциональной

реализации исходного пространства посредством сечений некоторого расслоения предоставляет возможность построения аналогичной реализации для сопряженного пространства. В частности, задача реализации сопряженного РНП приводит к понятию сопряженного банахова расслоения.
Вопрос о том, какое НБР X' следует считать сопряженным к данному расслоению X (затронутый, например, в работах [3, 13-15,22]), тесно связан с понятием гомоморфизма. Гомоморфизм V непрерывного банахова расслоения X над представляет собой функционально-значное отображение V. д ь(д) £ Х(д)'.
переводящее любое непрерывное сечение и расслоения X в непрерывную вещественную функцию (д|г): д > (д(д)|г(д)).
Определяя сопряженное НБР X', естественно руководствоваться следующими двумя требованиями: во-первых, гомоморфизмы
должны быть непрерывными сечениями расслоения X' и, во-вторых, все непрерывные сечения X' должны быть гомоморфизмами.
Задача определения и исследования сопряженного расслоения значительно облегчается, если рассматриваемое расслоение является просторным. Мы сделаем небольшое отступление и коротко остановимся на понятии просторного расслоения.
Непрерывные вещественнозначные функции на экстремально несвязном компакте обладают одним замечательным свойством: всякая ограниченная непрерывная функция, определенная на всюду плотном множестве, продолжается на весь компакт с сохранением непрерывности. Ни непрерывные вектор-функции, ни тем более непрерывные сечения банаховых расслоений, вообще говоря, не обладают этим свойством. Обычные банаховы расслоения не обеспечивают достаточный простор для продолжений своих сечений. Однако среди банаховых расслоений есть и такие, которые этот

(1) Пусть хп Е Х(дп) (п Е М), х Е Л'(д) ив топологическом пространстве ()® X (см. [3, 2.1.4]) имеет место сходимость (дп,хп) —> (д, х) при п —> оо (если х = 0, то эта сходимость равносильна равенству Нш ||жп|| = 0). Тогда существует ограниченное сечение
71—ЮО
и Е С(С2, X), удовлетворяющее равенствам и(дп) = хп для всех п Е N и и(д) = х.
(2) Пусть гомоморфизмы Нп Е Нотп (Л", У) (п Е М) таковы, что последовательность ([|| Нп ||| )„ем равномерно сходится к нулю. Тогда существует ограниченный гомоморфизм Н Е Нот(Т,У), удовлетворяющий равенствам Н(д„) = Нп(дп) для всех п Е N и Я (д) = 0.
(3) Пусть X — топологическое векторное пространство. Предположим, что последовательность (хп) С X сходится к х Е X. Тогда существует непрерывная вектор-функция и: X такая, что
и(дп) = хп для всех п Е N и и(д) = х.
(4) Пусть X — банахово пространство. Предположим, что последовательность (х'п) С X' слабо* сходится к х' Е X'. Тогда существует гомоморфизм Н Е Пот(Хд,Щ та кой, что Я(д„) = х'п для всех п Е N и Я(д) = х'.
< В пояснении нуждается лишь утверждение (1). При х = 0 это утверждение является прямым следствием леммы 2.5 (3) и теоремы Дюпре (см. [3, 2.3.5]). Переходя к доказательству общего случая, вновь воспользуемся теоремой Дюпре и рассмотрим ограниченное сечение V Е С{С},Х), принимающее значение х в точке д. Из предложения [3, 2.3.8] следует, что ||хп — г(дп)\ —> 0 при п —> ос. Тогда в силу справедливости доказываемого утверждения для случая х = 0 существует ограниченное сечение ю Е С(<5,Т), удовлетворяющее равенствам гс(ди) = хп — г>(дп) (п £ М) и гт(д) = 0. Остается положить и — и + ю. >